3. В параллелограмме ABCD проведена биссектриса АК, которая делит сторону ВС на отрезки равные 6 см и 5 см. Найдите периметр параллелограмма ABCD.

Решение:

1. Дано: ABCD — параллелограмм, АК — биссектриса, ВК = 6 см, КС = 5 см.
2. Найти: Периметр ABCD.
3. Разбор:
   1. Так как АК — биссектриса, то −BAK = −KAD.
   2. В параллелограмме стороны параллельны, значит, AB || BC.
   3. Углы −BAK и −BKA являются накрест лежащими при параллельных прямых AB и BC и секущей АК.
   4. Следовательно, −BAK = −BKA.
   5. Из равенства −BAK = −KAD и −BAK = −BKA следует, что −KAD = −BKA.
   6. В треугольнике ABK углы −BAK и −BKA равны. Значит, треугольник ABK — равнобедренный.
   7. В равнобедренном треугольнике ABK стороны, противолежащие равным углам, равны. Следовательно, AB = BK.
   8. По условию, ВК = 6 см, значит, AB = 6 см.
   9. BC = BK + KC = 6 см + 5 см = 11 см.
   10. В параллелограмме противоположные стороны равны: AB = CD и BC = AD.
   11. Следовательно, CD = 6 см и AD = 11 см.
   12. Периметр параллелограмма вычисляется по формуле: P = 2 * (AB + BC).
   13. P = 2 * (6 см + 11 см) = 2 * 17 см = 34 см.

Ответ: 34 см.