№ 3 В окружности с центром О проведены хорды AB и CD. Докажите, что AB = CD, если ∠AOC = ∠BOD. № 4 Отрезки ME и PK являются диаметрами окружности с центром в точке O. Докажите, что: а) ∠EMP = ∠MPK; б) отрезки KM и PF равны.

Привет! Давай разберем эти задачки по геометрии.

№ 3

Условие: В окружности с центром О проведены хорды AB и CD. Докажите, что AB = CD, если ∠AOC = ∠BOD.

Решение:

1. Рассмотрим треугольники △AOC и △BOD.
2. OA = OB = OC = OD (радиусы окружности).
3. ∠AOC = ∠BOD (по условию).
4. По двум сторонам и углу между ними (II признак равенства треугольников), △AOC = △BOD.
5. Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны равны: AC = BD.
6. Теперь рассмотрим хорды AB и CD.
7. AB и CD — это хорды.
8. ∠AOC и ∠BOD — это центральные углы, которые опираются на дуги AC и BD соответственно.
9. Так как ∠AOC = ∠BOD, то и соответствующие дуги равны: дуга AC = дуга BD.
10. Равные дуги стягиваются равными хордами, следовательно, AB = CD.

Что и требовалось доказать!

№ 4

Условие: Отрезки ME и PK являются диаметрами окружности с центром в точке O. Докажите, что:

а) ∠EMP = ∠MPK;

б) отрезки KM и PF равны.

Решение:

Часть а) Докажем, что ∠EMP = ∠MPK.

1. ME и PK — диаметры, центр окружности — O.
2. ∠EPO = ∠KPM (вертикальные углы).
3. OP = OK = OE = OM (радиусы окружности).
4. Рассмотрим треугольники △EPO и △KPM.
5. ∠EPO = ∠KPM (вертикальные углы).
6. OE = OK (радиусы).
7. OP = OM (радиусы).
8. По двум сторонам и углу между ними (II признак равенства треугольников), △EPO = △KPM.
9. Из равенства треугольников следует, что соответствующие углы равны: ∠EMP = ∠MPK.

Часть б) Докажем, что отрезки KM и PF равны.

1. Рассмотрим треугольники △KOM и △POF.
2. OK = OP (радиусы).
3. OM = OF (радиусы).
4. ∠KOM = ∠POF (вертикальные углы).
5. По двум сторонам и углу между ними (II признак равенства треугольников), △KOM = △POF.
6. Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны равны: KM = PF.

Все доказано! Молодец!