3. В окружности с центром О проведены диаметр МN и хорды NF и NK так, что NF = NK.

Решение:

Диаметр \(MN\) делит окружность на две полуокружности. Хорды \(NF\) и \(NK\) равны, значит, они стягивают равные дуги. Следовательно, дуга \(NF\) равна дуге \(NK\).

Угол \(\angle NFM\) — вписанный, опирающийся на диаметр \(MN\), значит, \(\angle NFM = 90°\).

Аналогично, угол \(\angle NKM\) — вписанный, опирающийся на диаметр \(MN\), значит, \(\angle NKM = 90°\).

Треугольники \(\triangle NFM\) и \(\triangle NKM\) являются прямоугольными.

Рассмотрим треугольник \(\triangle NFM\). \(NF\) — хорда, \(NM\) — диаметр.

Рассмотрим треугольник \(\triangle NKM\). \(NK\) — хорда, \(NM\) — диаметр.

Так как \(NF = NK\), то треугольники \(\triangle NFM\) и \(\triangle NKM\) равны по гипотенузе и катету (по теореме Пифагора, так как \(FM^2 = NM^2 - NF^2\) и \(KM^2 = NM^2 - NK^2\), а \(NF=NK\), следовательно \(FM=KM\)).

Таким образом, \(\angle FNM = \angle KNM\u0000\) и \(\angle NMF = \angle KMF\u0000\).

Примечание: Задание не содержит вопроса, поэтому представлен только анализ условий.