3. Упростите выражение: a) \(\frac{\sin 2\alpha}{\cos \alpha}\) b) \(\frac{1 - \cos 2\beta}{\sin \beta}\) д) \(\frac{\cos 40^{\circ} + \sin^2 20^{\circ}}{\cos^2 20^{\circ}}\)

Решение:

1. а) Используем формулу двойного угла для синуса: \( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \).
   \(\frac{\sin 2\alpha}{\cos \alpha} = \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{\cos \alpha} = 2 \sin \alpha\)
2. б) Используем формулу косинуса двойного угла: \( 1 - \cos 2\beta = 2 \sin^2 \beta \).
   \(\frac{1 - \cos 2\beta}{\sin \beta} = \frac{2 \sin^2 \beta}{\sin \beta} = 2 \sin \beta\)
3. д) Используем формулу косинуса двойного угла \( \cos 2x = 2 \cos^2 x - 1 \), откуда \( \cos 40^{\circ} = 2 \cos^2 20^{\circ} - 1 \).
   Числитель: \( \cos 40^{\circ} + \sin^2 20^{\circ} = (2 \cos^2 20^{\circ} - 1) + \sin^2 20^{\circ} \).
   Используя основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \), перепишем \( \sin^2 20^{\circ} = 1 - \cos^2 20^{\circ} \).
   Числитель: \( 2 \cos^2 20^{\circ} - 1 + (1 - \cos^2 20^{\circ}) = \cos^2 20^{\circ} \).
   Выражение: \(\frac{\cos^2 20^{\circ}}{\cos^2 20^{\circ}} = 1\)

Ответ: а) \( 2 \sin \alpha \); б) \( 2 \sin \beta \); д) \( 1 \).