3. Упростите: 2) \(\frac{18x^{-6}}{y^5} \cdot \frac{7y^{-5}}{6x^{-12}}\)

Привет! Давай разберемся с этим примером.

Исходное выражение:

\[ \frac{18x^{-6}}{y^5} \cdot \frac{7y^{-5}}{6x^{-12}} \]

1. Перепишем отрицательные степени:

   Напомню, \(x^{-n} = \frac{1}{x^n}\).

   \[ \frac{18}{x^6 y^5} \cdot \frac{7}{y^5 x^{12}} \]

2. Объединим дроби:

   \[ \frac{18 × 7}{x^6 y^5 y^5 x^{12}} \]

3. Перемножим числа в числителе:

   \[ \frac{126}{x^6 y^5 y^5 x^{12}} \]

4. Сложим степени с одинаковыми основаниями в знаменателе:

   Для 'x': \(x^6 \cdot x^{12} = x^{6+12} = x^{18}\)

   Для 'y': \(y^5 \cdot y^5 = y^{5+5} = y^{10}\)

   \[ \frac{126}{x^{18} y^{10}} \]

5. Сократим дробь:

   Число 126 и число 6 (из знаменателя, если мы перемножали не числа, а переменные) можно сократить.

   Давай переделаем шаг 1, чтобы было понятнее.

   \[ \frac{18}{x^6 y^5} \cdot \frac{7}{y^5 x^{12}} = \frac{18 × 7}{x^6 × x^{12} × y^5 × y^5} = \frac{126}{x^{18} y^{10}} \]

   А теперь вернемся к исходному виду, чтобы сократить коэффициенты раньше:

   \[ \frac{18x^{-6}}{y^5} \cdot \frac{7y^{-5}}{6x^{-12}} = \frac{18}{y^5 x^6} \cdot \frac{7}{y^5 x^{12}} \]

   Перенесем все в числитель и знаменатель:

   \[ \frac{18 × 7}{x^6 × y^5 × y^5 × x^{12}} = \frac{126}{x^{18} y^{10}} \]

   Но если изначально воспользоваться правилом отрицательных степеней:

   \[ \frac{18x^{-6}}{y^5} \cdot \frac{7y^{-5}}{6x^{-12}} = \frac{18}{x^6 y^5} \cdot \frac{7}{y^5 x^{12}} = \frac{18 × 7}{x^6 × x^{12} × y^5 × y^5} = \frac{126}{x^{18} y^{10}} \]

   Давай вернемся к тому, что было:

   \[ \frac{18x^{-6}}{y^5} \cdot \frac{7y^{-5}}{6x^{-12}} = \frac{18 × 7 × x^{-6} × y^{-5}}{y^5 × 6 × x^{-12}} \]

   Упростим коэффициенты: \(18 × 7 = 126\) и \(6\). \(126 / 6 = 21\).

   \[ \frac{21 × x^{-6} × y^{-5}}{y^5 × x^{-12}} \]

   Теперь упростим степени:

   \(x^{-6} / x^{-12} = x^{-6 - (-12)} = x^{-6 + 12} = x^6\) (в числителе)

   \(y^{-5} / y^5 = y^{-5 - 5} = y^{-10}\) (в знаменателе)

   \[ \frac{21 x^6}{y^{10}} \]

Ответ:

\[ \frac{21x^6}{y^{10}} \]