3. Углы, образованные касательной и хордой, стягивающей дугу, равную 1/3 длины окружности. Условие задания: Дано: ∠OAC = 68°. Вычисли: ∠ABO = ?; ∠AOC = ?.

Решение:

1. Найдём угол ∠AOC.

В треугольнике OAC, OA = OC (радиусы), значит, он равнобедренный. Угол ∠OAC = 68°.

Сумма углов в треугольнике равна 180°. Значит, ∠OCA = ∠OAC = 68°.

Угол ∠AOC = 180° - (∠OAC + ∠OCA) = 180° - (68° + 68°) = 180° - 136° = 44°.

2. Найдём угол ∠ABO.

Угол ∠ABO — это угол между касательной AB и радиусом OB. По теореме о касательной, угол между касательной и радиусом, проведённым в точку касания, равен 90°. Значит, ∠ABO = 90°.

Примечание: В условии сказано, что дуга равна 1/3 длины окружности. Центральный угол, опирающийся на эту дугу, равен 360°/3 = 120°. В нашем случае угол ∠AOC = 44°, что не соответствует условию задачи о длине дуги. Задача решается по данным углам.

Ответ: ∠ABO = 90°, ∠AOC = 44°.