3. Точки B и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС. Треугольники АВС и ADC — равнобедренные прямоугольные (∠B=∠D=90°). Доказать: AB ∥ CD.

Решение:

По условию, \( \triangle ABC \) и \( \triangle ADC \) — равнобедренные прямоугольные треугольники с прямыми углами при вершинах B и D соответственно. Это означает, что \( AB = BC \) и \( AD = DC \), а также \( \angle B = \angle D = 90° \).

Рассмотрим диагонали AC и BD. В четырехугольнике ABCD:

• \( AB = BC \) (по условию, \( \triangle ABC \) — равнобедренный).
• \( AD = DC \) (по условию, \( \triangle ADC \) — равнобедренный).
• \( \angle B = \angle D = 90° \) (по условию).

В равнобедренном прямоугольном треугольнике углы при основании равны 45°:

• В \( \triangle ABC \): \( \angle BAC = \angle BCA = 45° \).
• В \( \triangle ADC \): \( \angle DAC = \angle DCA = 45° \).

Теперь рассмотрим углы при вершине A и C в четырехугольнике ABCD:

• \( \angle BAD = \angle BAC + \angle DAC = 45° + 45° = 90° \).
• \( \angle BCD = \angle BCA + \angle DCA = 45° + 45° = 90° \).

Таким образом, в четырёхугольнике ABCD:

• \( \angle B = 90° \)
• \( \angle D = 90° \)
• \( \angle BAD = 90° \)
• \( \angle BCD = 90° \)

Сумма углов четырехугольника равна 360° (90° + 90° + 90° + 90° = 360°).

Рассмотрим углы \( \angle ABC \) и \( \angle BCD \). Они являются внутренними односторонними углами при прямых AB и CD и секущей BC. Однако, это не доказывает параллельность AB и CD.

Давайте рассмотрим углы \( \angle BAC \) и \( \angle ACD \). Мы знаем, что \( \angle BAC = 45° \) и \( \angle ACD = 45° \). Эти углы являются накрест лежащими при прямых AB и CD и секущей AC.

Так как \( \angle BAC = \angle ACD = 45° \) (накрест лежащие углы равны), то прямые AB и CD параллельны.

Доказано.