3. Точечный источник света находится на расстоянии L = 4 м от экрана. На пути световых лучей параллельно экрану расположен тонкий непрозрачный диск радиусом r = 15 см. Определите расстояние от диска до экрана, если радиус тени на экране R = 60 см. Источник света, центр диска и центр экрана лежат на одной линии.

Эта задача решается с помощью подобия треугольников, так как источник света, диск и тень на экране лежат на одной прямой. Мы можем представить эту ситуацию как два подобных прямоугольных треугольника:

• Большой треугольник: образован источником света, центром экрана и краем тени на экране. Его катеты: расстояние от источника до экрана (L) и радиус тени (R).
• Малый треугольник: образован источником света, центром диска и краем диска. Его катеты: расстояние от источника до диска (обозначим его как 'x') и радиус диска (r).

Пусть:

• \[ L = 4 \text{ м} = 400 \text{ см} \] — расстояние от источника до экрана.
• \[ r = 15 \text{ см} \] — радиус диска.
• \[ R = 60 \text{ см} \] — радиус тени на экране.
• \[ x \] — расстояние от источника до диска.
• \[ L - x \] — расстояние от диска до экрана (это то, что нам нужно найти).

Применение подобия треугольников:

Отношение катетов в подобных треугольниках равно:

\[ \frac{\text{радиус тени}}{\text{расстояние от источника до экрана}} = \frac{\text{радиус диска}}{\text{расстояние от источника до диска}} \]

Или:

\[ \frac{R}{L} = \frac{r}{x} \]

Подставляем известные значения:

\[ \frac{60}{400} = \frac{15}{x} \]

Теперь найдем \[ x \]:

\[ x = \frac{15 · 400}{60} \]

Упростим:

\[ x = \frac{15 · 40}{6} \]

Еще упростим, разделив 15 и 6 на 3:

\[ x = \frac{5 · 40}{2} \]

Теперь разделим 40 на 2:

\[ x = 5 · 20 \]

\[ x = 100 \text{ см} \]

Это расстояние от источника света до диска. Нам нужно найти расстояние от диска до экрана. Это расстояние равно \[ L - x \].

\[ \text{Расстояние от диска до экрана} = L - x = 400 \text{ см} - 100 \text{ см} = 300 \text{ см} \]

Переведем в метры:

\[ 300 \text{ см} = 3 \text{ м} \]

Ответ: Расстояние от диска до экрана составляет 3 метра.