3. Тип 8 № 392952 Найдите значение выражения a² - 4b² 2ab : (1 2b 1 a ) при а = 2 19 , b = 5 19 .

Привет! Сейчас разберем это задание по шагам.

Нам нужно найти значение выражения:

\[ \frac{a^2 - 4b^2}{2ab} : \left( \frac{1}{2b} - \frac{1}{a} \right) \]

При заданных значениях a = 2/19 и b = 5/19.

Сначала упростим выражение.

1. Преобразуем числитель первой дроби:

   a² - 4b² — это разность квадратов. Мы можем свернуть ее по формуле (x² - y²) = (x - y)(x + y). В нашем случае x = a и y = 2b.

   \[ a^2 - 4b^2 = (a - 2b)(a + 2b) \]

2. Преобразуем выражение в скобках:

   Приведем к общему знаменателю 2ab:

   \[ \frac{1}{2b} - \frac{1}{a} = \frac{1 \times a}{2b \times a} - \frac{1 \times 2b}{a \times 2b} = \frac{a - 2b}{2ab} \]

3. Теперь подставим преобразованные выражения обратно в исходное:

   \[ \frac{(a - 2b)(a + 2b)}{2ab} : \frac{a - 2b}{2ab} \]

   Деление на дробь — это умножение на дробь, перевернутую наоборот:

   \[ \frac{(a - 2b)(a + 2b)}{2ab} \times \frac{2ab}{a - 2b} \]

4. Сокращаем выражение:

   Мы видим, что (a - 2b) и 2ab есть и в числителе, и в знаменателе. Можем их сократить.

   \[ \frac{\cancel{(a - 2b)}(a + 2b)}{\cancel{2ab}} \times \frac{\cancel{2ab}}{\cancel{a - 2b}} = a + 2b \]

5. Теперь подставим значения a и b:

   \[ a + 2b = \frac{2}{19} + 2 \times \frac{5}{19} \]

   \[ = \frac{2}{19} + \frac{10}{19} \]

   \[ = \frac{2 + 10}{19} = \frac{12}{19} \]

Ответ: \[ \frac{12}{19} \]