3. Стороны прямоугольника равны 3 см и √3 см. Найдите углы, которые диагональ образует со сторонами прямоугольника.

Решение:

Пусть дан прямоугольник ABCD. Стороны AB = CD = 3 см, а BC = AD = \( \sqrt{3} \) см. Диагональ AC. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Угол BAC — угол между диагональю AC и стороной AB. Угол BCA — угол между диагональю AC и стороной BC.

Найдем тангенсы этих углов:

\( \tan(\angle BAC) = \frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{3} \)

Так как \( \tan(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \), то \( \angle BAC = 30^{\circ} \).

\( \tan(\angle BCA) = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} \)

Так как \( \tan(60^{\circ}) = \sqrt{3} \), то \( \angle BCA = 60^{\circ} \).

В прямоугольнике диагонали образуют два угла со сторонами: 30° и 60°.

Ответ: 30° и 60°.