3. Степень вершины — это количество выходящих из нее ребер. Какова наибольшая степень вершин в графе ферзя на шахматной доске 8 × 8? Напомним, что граф ферзя — это граф, в котором вершины соответствуют клеткам, а ребро проведено между клетками, если они соединены одним ходом ферзя.

Решение:

Граф ферзя на шахматной доске 8 × 8 представляет собой вершины (клетки доски) и рёбра (возможные ходы ферзя). Степень вершины — это количество клеток, куда ферзь может походить из данной клетки.

Ферзь может ходить по горизонтали, вертикали и диагонали на любое количество клеток. Максимальное количество ходов ферзь совершает из центральной клетки доски, так как из неё он может двигаться по всем направлениям на наибольшее расстояние.

Рассмотрим клетку d4 (или любую другую центральную клетку, например, e4, d5, e5). Из этой клетки ферзь может походить:

• По горизонтали: 7 клеток (влево и вправо).
• По вертикали: 7 клеток (вверх и вниз).
• По диагонали (вверх-влево и вниз-вправо): 7 клеток.
• По диагонали (вверх-вправо и вниз-влево): 7 клеток.

Однако, эти подсчёты приводят к тому, что каждая клетка на той же горизонтали, вертикали или диагонали считается как один ход. Нам нужно посчитать количество различных клеток, куда может пойти ферзь.

Для клетки d4:

• По горизонтали: 3 клетки влево (a4, b4, c4) + 4 клетки вправо (e4, f4, g4, h4) = 7 клеток.
• По вертикали: 3 клетки вниз (d1, d2, d3) + 4 клетки вверх (d5, d6, d7, d8) = 7 клеток.
• По диагонали (вверх-вправо): 4 клетки (e5, f6, g7, h8).
• По диагонали (вверх-влево): 3 клетки (c5, b6, a7).
• По диагонали (вниз-вправо): 3 клетки (e3, f2, g1).
• По диагонали (вниз-влево): 3 клетки (c3, b2, a1).

Суммируем количество уникальных клеток:

\( 7 + 7 + 4 + 3 + 3 + 3 = 27 \)

Таким образом, из центральной клетки ферзь может походить на 27 других клеток. Это и есть наибольшая степень вершины в данном графе.

Ответ: 27