3. sin\(x + \frac{\pi}{6}\) = -\(\frac{1}{2}\);

Решение:

Чтобы решить уравнение \( \sin(x + \frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2} \), мы должны найти значения угла \( x + \frac{\pi}{6} \), синус которых равен \( -\frac{1}{2} \).

Известно, что \( \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} \). Синус отрицателен в III и IV четвертях. Следовательно, углы, синус которых равен \( -\frac{1}{2} \), равны:

• \( \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi + \pi}{6} = \frac{7\pi}{6} \)
• \( 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{12\pi - \pi}{6} = \frac{11\pi}{6} \)

Теперь приравниваем аргумент синуса к этим значениям, учитывая периодичность синуса (период \( 2\pi \)):

1. \( x + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n \), где \( n \) — любое целое число.

\( x = \frac{7\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n \)
\( x = \frac{6\pi}{6} + 2\pi n \)
\( x = \pi + 2\pi n \)

2. \( x + \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6} + 2\pi k \), где \( k \) — любое целое число.

\( x = \frac{11\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k \)
\( x = \frac{10\pi}{6} + 2\pi k \)
\( x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi k \)

Ответ: \( x = \pi + 2\pi n \) и \( x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi k \), где \( n \) и \( k \) — любые целые числа.