3. Школьницы Алиса и Василиса бегут в одну сторону по кругу на спортивной площадке. Каждые 12 минут Алиса обгоняет Василису. Навстречу школьницам бежит пёс Рекс, который каждые 3 минуты встречается с Василисой. Через какой промежуток времени происходят встречи Рекса с Алисой?

Решение:

Пусть \( v_A \) - скорость Алисы, \( v_B \) - скорость Василисы, \( v_R \) - скорость Рекса. Пусть \( L \) - длина круга.

Алиса обгоняет Василису каждые 12 минут. Это означает, что за 12 минут Алиса пробегает на 1 круг больше, чем Василиса.

\( (v_A - v_B) \cdot 12 = L \)

Рекс встречается с Василисой каждые 3 минуты. Они бегут навстречу друг другу.

\( (v_R + v_B) \cdot 3 = L \)

Мы хотим найти промежуток времени \( t \), через который Рекс встречается с Алисой. Они также бегут навстречу друг другу.

\( (v_R + v_A) \cdot t = L \)

Из первого уравнения: \( v_A - v_B = \frac{L}{12} \) (1)

Из второго уравнения: \( v_R + v_B = \frac{L}{3} \) (2)

Сложим уравнения (1) и (2):

\( (v_A - v_B) + (v_R + v_B) = \frac{L}{12} + \frac{L}{3} \)

\( v_A + v_R = \frac{L}{12} + \frac{4L}{12} = \frac{5L}{12} \)

Теперь мы знаем \( v_R + v_A \). Мы ищем \( t \) из уравнения \( (v_R + v_A) \cdot t = L \).

\( \frac{5L}{12} \cdot t = L \)

Разделим обе части на \( L \) (предполагая \( L \neq 0 \)):

\( \frac{5}{12} \cdot t = 1 \)

\( t = \frac{12}{5} \) минут.

\( t = 2.4 \) минуты.

Переведем 0.4 минуты в секунды: \( 0.4 \cdot 60 = 24 \) секунды.

Таким образом, встречи Рекса с Алисой происходят каждые 2 минуты 24 секунды.

Ответ: 2,4 минуты (или 2 минуты 24 секунды).