3. Решите уравнения: a) (7-2x)(9-2x)-35 = 0 б) x^4+2x^2-3 = 0 в) 1/(x+4) - 8/(x^2-16) = (x-3)/(x-4) г) (x^2-8)^2+3(x^2-8)=4

Задание 3. Решите уравнения

а) Квадратное уравнение

1. Раскроем скобки:
2. \( (7-2x)(9-2x) - 35 = 0 \)
3. \( 63 - 14x - 18x + 4x^2 - 35 = 0 \)
4. Приведём подобные члены:
5. \( 4x^2 - 32x + 28 = 0 \)
6. Разделим всё уравнение на 4 для упрощения:
7. \( x^2 - 8x + 7 = 0 \)
8. Теперь решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета (сумма корней равна 8, произведение равно 7) или дискриминант.
9. По теореме Виета: \( x_1 = 1, x_2 = 7 \) (так как \( 1+7=8 \) и \( 1 \cdot 7 = 7 \)).

Ответ: \( x=1, x=7 \).

б) Биквадратное уравнение

Это биквадратное уравнение, так как оно содержит только чётные степени \( x \).

1. Сделаем замену переменной: пусть \( t = x^2 \). Тогда уравнение примет вид:
2. \( t^2 + 2t - 3 = 0 \)
3. Решим это квадратное уравнение относительно \( t \). По теореме Виета:
4. \( t_1 = 1, t_2 = -3 \) (так как \( 1+(-3)=-2 \) — ошибка в знаке, должно быть \( -2 \); \( 1 \cdot (-3) = -3 \). Правильные корни: \( t_1=1, t_2=-3 \) не подходят. Используем дискриминант: \( D = 2^2 - 4(1)(-3) = 4+12=16 \), \( \sqrt{D}=4 \). \( t_1 = \frac{-2+4}{2} = 1 \), \( t_2 = \frac{-2-4}{2} = -3 \)).
5. Теперь вернёмся к замене \( t = x^2 \):
6. 1) \( x^2 = t_1 = 1 \) \( \Rightarrow x = \pm \sqrt{1} \) \( \Rightarrow x = \pm 1 \)
7. 2) \( x^2 = t_2 = -3 \) \( \Rightarrow \) действительных корней нет, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Ответ: \( x=1, x=-1 \).

в) Рациональное уравнение

Чтобы решить это уравнение, сначала приведём все дроби к общему знаменателю. Заметим, что \( x^2-16 = (x-4)(x+4) \).

1. Общий знаменатель — \( (x-4)(x+4) \). Уравнение имеет смысл при \( x
   eq 4 \) и \( x
   eq -4 \).
2. Приведём все дроби к общему знаменателю:
3. \( \frac{1(x+4)}{(x+4)(x-4)} - \frac{8}{(x-4)(x+4)} = \frac{(x-3)(x+4)}{(x-4)(x+4)} \)
4. Теперь, когда знаменатели равны, можем приравнять числители:
5. \( (x+4) - 8 = (x-3)(x+4) \)
6. \( x + 4 - 8 = x^2 + 4x - 3x - 12 \)
7. \( x - 4 = x^2 + x - 12 \)
8. Перенесём всё в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
9. \( x^2 + x - x - 12 + 4 = 0 \)
10. \( x^2 - 8 = 0 \)
11. \( x^2 = 8 \)
12. \( x = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2} \)
13. Проверим, не равны ли корни \( 4 \) или \( -4 \). \( 2\sqrt{2} \) примерно равно \( 2 \cdot 1.414 = 2.828 \), что не равно \( 4 \) или \( -4 \).

Ответ: \( x = 2\sqrt{2}, x = -2\sqrt{2} \).

г) Уравнение с заменой переменной

Заметим, что \( (x^2-8) \) повторяется в уравнении. Сделаем замену:

1. Пусть \( t = x^2-8 \). Тогда уравнение примет вид:
2. \( t^2 + 3t = 4 \)
3. Перенесём всё в одну сторону:
4. \( t^2 + 3t - 4 = 0 \)
5. Решим это квадратное уравнение относительно \( t \). По теореме Виета:
6. \( t_1 = 1, t_2 = -4 \) (так как \( 1+(-4)=-3 \) — ошибка, должно быть \( -3 \). Используем дискриминант: \( D = 3^2 - 4(1)(-4) = 9+16=25 \), \( \sqrt{D}=5 \). \( t_1 = \frac{-3+5}{2} = 1 \), \( t_2 = \frac{-3-5}{2} = -4 \)).
7. Теперь вернёмся к замене \( t = x^2-8 \):
8. 1) \( x^2-8 = t_1 = 1 \)
9. \( x^2 = 1 + 8 \)
10. \( x^2 = 9 \)
11. \( x = \pm \sqrt{9} \) \( \Rightarrow x = \pm 3 \)
12. 2) \( x^2-8 = t_2 = -4 \)
13. \( x^2 = -4 + 8 \)
14. \( x^2 = 4 \)
15. \( x = \pm \sqrt{4} \) \( \Rightarrow x = \pm 2 \)

Ответ: \( x=3, x=-3, x=2, x=-2 \).