3. Решите уравнение: ∓3x² - 3 = ∓8x

Решение:

Дано уравнение: \( \sqrt[3]{3x^2 - 3} = \sqrt[3]{8x} \)

1. Возведём обе части уравнения в куб, чтобы избавиться от корней: \( (\sqrt[3]{3x^2 - 3})^3 = (\sqrt[3]{8x})^3 \)
2. Получим: \( 3x^2 - 3 = 8x \)
3. Перенесём все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение: \( 3x^2 - 8x - 3 = 0 \)
4. Решим полученное квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \). В нашем случае \( a = 3 \), \( b = -8 \), \( c = -3 \).
5. Вычислим дискриминант: \( D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 \)
6. Найдем корни уравнения по формуле \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \):
7. \( x_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 10}{6} = \frac{18}{6} = 3 \)
8. \( x_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{8 - 10}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \)
9. Проверим найденные корни:
10. Для \( x = 3 \): \( \sqrt[3]{3(3)^2 - 3} = \sqrt[3]{3 \cdot 9 - 3} = \sqrt[3]{27 - 3} = \sqrt[3]{24} \). \( \sqrt[3]{8 \cdot 3} = \sqrt[3]{24} \). Левая часть равна правой.
11. Для \( x = -\frac{1}{3} \): \( \sqrt[3]{3(-\frac{1}{3})^2 - 3} = \sqrt[3]{3 \cdot \frac{1}{9} - 3} = \sqrt[3]{\frac{1}{3} - 3} = \sqrt[3]{-\frac{8}{3}} \). \( \sqrt[3]{8 \cdot (-\frac{1}{3})} = \sqrt[3]{-\frac{8}{3}} \). Левая часть равна правой.

Ответ: x₁ = 3, x₂ = -1/3.