3. Решите уравнение 25^x - 24 × 5^x - 25 = 0.

Решение:

1. Сделаем замену переменной.
   Заметим, что 25^x = (5²)^x = (5^x)². Пусть y = 5^x. Тогда уравнение примет вид:
   \[ y^2 - 24y - 25 = 0 \]
2. Решим квадратное уравнение относительно y.
   Найдем дискриминант:\[ D = b^2 - 4ac = (-24)^2 - 4 \times 1 \times (-25) = 576 + 100 = 676 \]
   \[ \sqrt{D} = \sqrt{676} = 26 \]
   Найдем корни y₁ и y₂:
   \[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 + 26}{2 \times 1} = \frac{50}{2} = 25 \]
   \[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 - 26}{2 \times 1} = \frac{-2}{2} = -1 \]
3. Вернемся к замене переменной.
   Получили два уравнения:
   1) 5^x = y₁ = 25
   2) 5^x = y₂ = -1
4. Решим каждое из полученных уравнений.
   1) 5^x = 25
   Так как 25 = 5², то:
   \[ 5^x = 5^2 \]
   \[ x = 2 \]
   2) 5^x = -1
   Показательная функция 5^x всегда принимает положительные значения. Следовательно, это уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: 2