3. Решите уравнение: 2 sin^2 x - 1 = 0.

Решение:

1. Перенесём 1 в правую часть уравнения: \( 2 \sin^2 x = 1 \).
2. Разделим обе части на 2: \( \sin^2 x = \frac{1}{2} \).
3. Извлечём квадратный корень из обеих частей: \( \sin x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} \).
4. Упростим корень: \( \sin x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \).
5. Рассмотрим два случая:
• Случай 1: \( \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Основные решения: \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \) и \( x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \), где \( n \) — любое целое число.
• Случай 2: \( \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \). Основные решения: \( x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n \) и \( x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n \), где \( n \) — любое целое число.
• Объединив все решения, получим: \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} \), где \( k \) — любое целое число.

Ответ: \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} \), где \( k \in \mathbb{Z} \).