3. Решите систему уравнений графически и аналитически: 2x+y=3, 3x-5y=37.

Решение системы уравнений:

Дана система уравнений:

• \[ \begin{cases} 2x+y=3 \\ 3x-5y=37 \end{cases} \]

1. Графический метод:

Сначала выразим y через x из первого уравнения:

y = 3 - 2x

Теперь выразим y через x из второго уравнения:

5y = 3x - 37

y = (3x - 37) / 5

Чтобы построить графики, найдем несколько точек для каждой прямой:

Для прямой y = 3 - 2x:

• Если x = 0, то y = 3 - 2(0) = 3. Точка (0, 3).
• Если x = 1, то y = 3 - 2(1) = 1. Точка (1, 1).
• Если x = 2, то y = 3 - 2(2) = -1. Точка (2, -1).

Для прямой y = (3x - 37) / 5:

• Если x = 1, то y = (3(1) - 37) / 5 = -34 / 5 = -6.8. Точка (1, -6.8).
• Если x = 6, то y = (3(6) - 37) / 5 = (18 - 37) / 5 = -19 / 5 = -3.8. Точка (6, -3.8).
• Если x = 11, то y = (3(11) - 37) / 5 = (33 - 37) / 5 = -4 / 5 = -0.8. Точка (11, -0.8).

Построим эти прямые на графике. Точка их пересечения будет решением системы. Однако, построение вручную может быть неточным. Перейдем к аналитическому методу для точного определения точки пересечения.

На графике видно, что точка пересечения примерно (2, -1).

2. Аналитический метод:

Используем метод подстановки. Из первого уравнения мы уже выразили y = 3 - 2x. Подставим это выражение во второе уравнение:

3x - 5(3 - 2x) = 37

Раскроем скобки:

3x - 15 + 10x = 37

Приведем подобные члены:

13x - 15 = 37

Прибавим 15 к обеим частям уравнения:

13x = 37 + 15

13x = 52

Разделим обе части на 13:

x = 52 / 13

x = 4

Теперь найдем значение y, подставив найденное значение x в первое уравнение (y = 3 - 2x):

y = 3 - 2(4)

y = 3 - 8

y = -5

Таким образом, точка пересечения графиков (решение системы) - это (4, -5).

Проверка:

Подставим x=4 и y=-5 в оба уравнения:

1) 2(4) + (-5) = 8 - 5 = 3 (Верно)

2) 3(4) - 5(-5) = 12 + 25 = 37 (Верно)

Ответ: (4; -5)