3) Решите неравенство: a) log₃(2x - 7) > 3 b) log₅(2x - 6) > 2 c) log₅(2x - 8) < 2 d) log₂(4x - 1) - 3

Решение:

а) log₃(2x - 7) > 3

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ): 2x - 7 > 0, откуда 2x > 7, то есть x > 3.5.


2. Так как основание логарифма (3) больше 1, неравенство равносильно:


3. \( 2x - 7 > 3^3 \)


4. \( 2x - 7 > 27 \)


5. \( 2x > 34 \)


6. \( x > 17 \)


7. Учитывая ОДЗ (x > 3.5), получаем, что x > 17.

б) log₅(2x - 6) > 2

1. ОДЗ: 2x - 6 > 0, откуда 2x > 6, то есть x > 3.


2. Так как основание логарифма (5) больше 1, неравенство равносильно:


3. \( 2x - 6 > 5^2 \)


4. \( 2x - 6 > 25 \)


5. \( 2x > 31 \)


6. \( x > 15.5 \)


7. Учитывая ОДЗ (x > 3), получаем, что x > 15.5.

в) log₅(2x - 8) < 2

1. ОДЗ: 2x - 8 > 0, откуда 2x > 8, то есть x > 4.


2. Так как основание логарифма (5) больше 1, неравенство равносильно:


3. \( 2x - 8 < 5^2 \)


4. \( 2x - 8 < 25 \)


5. \( 2x < 33 \)


6. \( x < 16.5 \)


7. Учитывая ОДЗ (x > 4), получаем, что 4 < x < 16.5.

г) log₂(4x - 1) - 3

Запись неполная, так как отсутствует знак неравенства или равенства и правая часть. Предположим, что это неравенство log₂(4x - 1) - 3 > 0.

1. ОДЗ: 4x - 1 > 0, откуда 4x > 1, то есть x > 0.25.


2. Перенесем 3 в правую часть: \( \text{log}_2(4x - 1) > 3 \)


3. Так как основание логарифма (2) больше 1, неравенство равносильно:


4. \( 4x - 1 > 2^3 \)


5. \( 4x - 1 > 8 \)


6. \( 4x > 9 \)


7. \( x > 2.25 \)


8. Учитывая ОДЗ (x > 0.25), получаем, что x > 2.25.

Ответ: а) x > 17; б) x > 15.5; в) 4 < x < 16.5; г) x > 2.25 (при условии log₂(4x - 1) - 3 > 0).