3. Решить уравнения:

Решение:

а) \( 3 \sin^2 x + 4 \cos^2 x = 13 \sin x \cos x \)

Разделим обе части уравнения на \( \cos^2 x \) (предполагая, что \( \cos x \neq 0 \). Если \( \cos x = 0 \), то \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), тогда \( \sin^2 x = 1 \) и \( 3 \cdot 1 + 4 \cdot 0 = 0 \), что не равно \( 13 \cdot \pm 1 \cdot 0 = 0 \). Значит \( \cos x \neq 0 \)).

1. Получаем: \( 3 \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + 4 \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 13 \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} \)
2. \( 3 \operatorname{tg}^2 x + 4 = 13 \operatorname{tg} x \)
3. Перепишем в виде квадратного уравнения относительно \( \operatorname{tg} x \): \( 3 \operatorname{tg}^2 x - 13 \operatorname{tg} x + 4 = 0 \).
4. Пусть \( t = \operatorname{tg} x \). Тогда \( 3t^2 - 13t + 4 = 0 \).
5. Найдем дискриминант: \( D = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 169 - 48 = 121 \). \( \sqrt{D} = 11 \).
6. Найдем корни: \[ t_1 = \frac{13 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{24}{6} = 4 \] \[ t_2 = \frac{13 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \].
7. Следовательно, \( \operatorname{tg} x = 4 \) или \( \operatorname{tg} x = \frac{1}{3} \).
8. Решения: \( x = \operatorname{arctg} 4 + \pi k \) или \( x = \operatorname{arctg} \frac{1}{3} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \operatorname{arctg} 4 + \pi k, x = \operatorname{arctg} \frac{1}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \)