№ 3. Равнобедренный треугольник с высотой, проведенной к основанию и равной 16 см, вписан в окружность радиуса 10 см. Найдите площадь этого треугольника и его боковую сторону.

Пусть высота треугольника $$h=16$$ см, радиус описанной окружности $$R=10$$ см.

Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, проходит через центр описанной окружности. Рассмотрим два случая:

1. Центр окружности лежит между вершиной и основанием. Тогда расстояние от центра до основания равно $$R-h = 10-16 = -6$$, что невозможно.
2. Основание лежит между центром окружности и вершиной. Тогда расстояние от центра до основания равно $$h-R = 16-10 = 6$$ см.

Пусть основание треугольника равно $$a$$. По теореме Пифагора, половина основания равна $$\sqrt{R^2 - (h-R)^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100-36} = \sqrt{64} = 8$$ см. Тогда основание $$a = 2 \times 8 = 16$$ см.

Площадь треугольника $$S = \frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} \times 16 \times 16 = 128$$ см².

Боковая сторона $$b = \sqrt{h^2 + (a/2)^2} = \sqrt{16^2 + 8^2} = \sqrt{256+64} = \sqrt{320} = \sqrt{64 \times 5} = 8\sqrt{5}$$ см.