3. При включении прибора вероятность его исправной работы 0,9. Если прибор исправен, то вероятность получения точного результата 0,8. Постройте дерево вероятностей и найдите вероятность того, что: а) прибор исправен и получен точный результат; б) получен точный результат; в) прибор неисправен или получен неточный результат.

Решение:

Пусть И — прибор исправен, Н — прибор неисправен, Т — получен точный результат, НТ — получен неточный результат.

Дано: \( P(И) = 0,9 \).

Следовательно, \( P(Н) = 1 - P(И) = 1 - 0,9 = 0,1 \).

Дано: \( P(Т|И) = 0,8 \).

Следовательно, \( P(НТ|И) = 1 - P(Т|И) = 1 - 0,8 = 0,2 \).

Если прибор неисправен, то точный результат получить невозможно, то есть \( P(Т|Н) = 0 \). Следовательно, \( P(НТ|Н) = 1 \).

a) Прибор исправен и получен точный результат.

Это событие \( И \text{ и } Т \). Вероятность: \( P(И \text{ и } Т) = P(И) \times P(Т|И) = 0,9 \times 0,8 = 0,72 \).

б) Получен точный результат.

Точный результат может быть получен, если прибор исправен (событие \( И \text{ и } Т \)) или если прибор неисправен (событие \( Н \text{ и } Т \)).

Вероятность \( P(Н \text{ и } Т) = P(Н) \times P(Т|Н) = 0,1 \times 0 = 0 \).

Вероятность получить точный результат: \( P(Т) = P(И \text{ и } Т) + P(Н \text{ и } Т) = 0,72 + 0 = 0,72 \).

в) Прибор неисправен или получен неточный результат.

Рассмотрим два случая:

1. Прибор неисправен (Н). Вероятность \( P(Н) = 0,1 \).
2. Прибор исправен, но получен неточный результат (И и НТ). Вероятность \( P(И \text{ и } НТ) = P(И) \times P(НТ|И) = 0,9 \times 0,2 = 0,18 \).

Общая вероятность: \( P(\text{неисправен или неточный}) = P(Н) + P(И \text{ и } НТ) = 0,1 + 0,18 = 0,28 \).

Альтернативно:

Событие «прибор неисправен или получен неточный результат» является дополнением к событию «прибор исправен и получен точный результат».

Вероятность этого события: \( 1 - P(И \text{ и } Т) = 1 - 0,72 = 0,28 \).

Ответ: а) 0,72; б) 0,72; в) 0,28.