3. При каких значениях х определено нижеприведенное выражение? a) √9-5x; б) x-4 / x√9+5x в) √9+5x²; г)* √x+3 / x²-11 д)* √9-5x / |x|-1,6 + 2-8x / √9+5x

Задание 3. Определение области допустимых значений (ОДЗ)

Будем разбирать каждое выражение по отдельности.

а) \( \sqrt{9-5x} \)

• Под корнем квадратным должно быть неотрицательное число.
• \( 9-5x \ge 0 \)
• \( 9 \ge 5x \)
• \( x \le \frac{9}{5} \)
• \( x \le 1.8 \)

ОДЗ а): \( x \le 1.8 \)

б) \( \frac{x-4}{x\sqrt{9+5x}} \)

• Знаменатель не должен быть равен нулю.
• Корень квадратный под знаменателем должен быть больше нуля (так как он в знаменателе).
• \( 9+5x > 0 \)
• \( 5x > -9 \)
• \( x > -\frac{9}{5} \)
• \( x > -1.8 \)
• Также, \( x \) не должен быть равен нулю (из-за \( x \) перед корнем).

ОДЗ б): \( x > -1.8 \) и \( x
e 0 \).

в) \( \sqrt{9+5x^2} \)

• Под корнем квадратным должно быть неотрицательное число.
• \( 9+5x^2 \ge 0 \)
• Поскольку \( x^2 \) всегда \( \ge 0 \), то \( 5x^2 \) тоже \( \ge 0 \).
• Следовательно, \( 9+5x^2 \) всегда \( \ge 9 \).
• Это выражение определено для всех действительных \( x \).

ОДЗ в): \( x \in \mathbb{R} \) (все действительные числа).

г) \( \frac{\sqrt{x+3}}{x^2-11} \)

• Знаменатель не должен быть равен нулю.
• Под корнем квадратным должно быть неотрицательное число.
• \( x+3 \ge 0 \)
• \( x \ge -3 \)
• \( x^2 - 11
  e 0 \)
• \( x^2
  e 11 \)
• \( x
  e \sqrt{11} \) и \( x
  e -\sqrt{11} \)
• Так как \( x \ge -3 \), то \( x
  e -\sqrt{11} \) (примерно -3.3) уже учтено.
• \( \sqrt{11} \) примерно 3.3.

ОДЗ г): \( x \ge -3 \) и \( x
e \sqrt{11} \).

д) \( \frac{\sqrt{9-5x}}{|x|-1,6} + \frac{2-8x}{\sqrt{9+5x}} \)

Это выражение состоит из двух дробей. Найдем ОДЗ для каждой отдельно.

Первая дробь: \( \frac{\sqrt{9-5x}}{|x|-1,6} \)

• Под корнем: \( 9-5x \ge 0 \) => \( x \le 1.8 \) (как в пункте а)).
• Знаменатель не равен нулю: \( |x|-1,6
  e 0 \) => \( |x|
  e 1,6 \) => \( x
  e 1,6 \) и \( x
  e -1,6 \).

Вторая дробь: \( \frac{2-8x}{\sqrt{9+5x}} \)

• Под корнем: \( 9+5x > 0 \) => \( x > -1.8 \) (как в пункте б)).

Объединяем ОДЗ для всего выражения:

• \( x \le 1.8 \)
• \( x > -1.8 \)
• \( x
  e 1,6 \)
• \( x
  e -1,6 \)

Объединяя все условия, получаем:

\( (-1.8; -1.6) \cup (-1.6; 1.6) \cup (1.6; 1.8] \)

ОДЗ д): \( (-1.8; -1.6) \cup (-1.6; 1.6) \cup (1.6; 1.8] \).