3. Построить график функции: y = -2x²-7x+4.

Решение:

Заданная функция \( y = -2x^2 - 7x + 4 \) является квадратичной, её график — парабола.

1. Направление ветвей параболы: Так как коэффициент при \( x^2 \) отрицательный (\( a = -2 \)), ветви параболы направлены вниз.
2. Координаты вершины параболы:
• Абсцисса вершины \( x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-7}{2\cdot(-2)} = -\frac{-7}{-4} = -\frac{7}{4} = -1.75 \).
• Ордината вершины \( y_в = -2(-1.75)^2 - 7(-1.75) + 4 = -2(3.0625) + 12.25 + 4 = -6.125 + 12.25 + 4 = 10.125 \).
• Вершина параболы находится в точке \( (-1.75, 10.125) \).
3. Точки пересечения с осями:
• С осью Y: При \( x = 0 \), \( y = -2(0)^2 - 7(0) + 4 = 4 \). Точка пересечения: \( (0, 4) \).
• С осью X: При \( y = 0 \), \( -2x^2 - 7x + 4 = 0 \). Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4(-2)(4) = 49 + 32 = 81 \). \( \sqrt{D} = 9 \).
• \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 9}{2(-2)} = \frac{16}{-4} = -4 \).
• \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 9}{2(-2)} = \frac{-2}{-4} = 0.5 \).
• Точки пересечения с осью X: \( (-4, 0) \) и \( (0.5, 0) \).
4. Дополнительные точки:
• При \( x = -1 \), \( y = -2(-1)^2 - 7(-1) + 4 = -2 + 7 + 4 = 9 \). Точка \( (-1, 9) \).
• При \( x = -2 \), \( y = -2(-2)^2 - 7(-2) + 4 = -8 + 14 + 4 = 10 \). Точка \( (-2, 10) \).
• При \( x = -3 \), \( y = -2(-3)^2 - 7(-3) + 4 = -18 + 21 + 4 = 7 \). Точка \( (-3, 7) \).

Ответ: График функции \( y = -2x^2 - 7x + 4 \) — парабола с вершиной в точке \( (-1.75, 10.125) \), ветвями, направленными вниз, пересекающая ось X в точках \( (-4, 0) \) и \( (0.5, 0) \), и ось Y в точке \( (0, 4) \).