3 Построить график функции: 1) y = 2x⁴ - x² + 1; 2) y = x³ - 3x.

Решение:

1) Построение графика функции $$y = 2x^4 - x^2 + 1$$

1. Исследование функции:
   • Функция четная, так как $$y(-x) = 2(-x)^4 - (-x)^2 + 1 = 2x^4 - x^2 + 1 = y(x)$$. График симметричен относительно оси Oy.
   • Найдем производную: $$y' = 8x^3 - 2x$$.
   • Приравняем производную к нулю: $$8x^3 - 2x = 0 \rightarrow 2x(4x^2 - 1) = 0 \rightarrow x=0, x=1/2, x=-1/2$$.
   • Точки экстремума: $$x=-1/2, x=0, x=1/2$$.
   • Найдем значения функции в этих точках:
     • $$y(0) = 2(0)^4 - (0)^2 + 1 = 1$$. Точка (0, 1) — максимум.
     • $$y(1/2) = 2(1/2)^4 - (1/2)^2 + 1 = 2(1/16) - 1/4 + 1 = 1/8 - 2/8 + 8/8 = 7/8$$. Точки $$(1/2, 7/8)$$ и $$(-1/2, 7/8)$$ — минимумы.
   • Найдем точки пересечения с осями:
     • С осью Oy: при $$x=0, y=1$$. Точка (0, 1).
     • С осью Ox: $$2x^4 - x^2 + 1 = 0$$. Пусть $$t=x^2$$, тогда $$2t^2 - t + 1 = 0$$. Дискриминант $$D = (-1)^2 - 4(2)(1) = 1 - 8 = -7 < 0$$. Корней нет, график не пересекает ось Ox.
2. Построение графика:

2) Построение графика функции $$y = x^3 - 3x$$

1. Исследование функции:
   • Функция нечетная, так как $$y(-x) = (-x)^3 - 3(-x) = -x^3 + 3x = -(x^3 - 3x) = -y(x)$$. График симметричен относительно начала координат.
   • Найдем производную: $$y' = 3x^2 - 3$$.
   • Приравняем производную к нулю: $$3x^2 - 3 = 0 \rightarrow 3(x^2 - 1) = 0 \rightarrow x=1, x=-1$$.
   • Точки экстремума: $$x=-1, x=1$$.
   • Найдем значения функции в этих точках:
     • $$y(1) = (1)^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2$$. Точка (1, -2) — минимум.
     • $$y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$$. Точка (-1, 2) — максимум.
   • Найдем точки пересечения с осями:
     • С осью Oy: при $$x=0, y=0$$. Точка (0, 0).
     • С осью Ox: $$x^3 - 3x = 0 \rightarrow x(x^2 - 3) = 0 \rightarrow x=0, x=\sqrt{3}, x=-\sqrt{3}$$. Точки $$(0, 0), (\sqrt{3}, 0), (-\sqrt{3}, 0)$$.
2. Построение графика: