3. Площадь треугольника, образованного точками пересечения параболы y = 0,5 (x-3)(x+k) равна 1,5 кв. ед. Найти k

Решение:

Парабола \( y = 0.5(x-3)(x+k) \) имеет корни \( x_1 = 3 \) и \( x_2 = -k \). Эти корни являются абсциссами точек пересечения параболы с осью Ox.

Вершина параболы находится посередине между корнями, её абсцисса \( x_в = \frac{3 + (-k)}{2} = \frac{3-k}{2} \).

Ордината вершины параболы: \( y_в = 0.5 \left( \frac{3-k}{2} - 3 \right) \left( \frac{3-k}{2} + k \right) \) = \( 0.5 \left( \frac{3-k-6}{2} \right) \left( \frac{3-k+2k}{2} \right) \) = \( 0.5 \left( \frac{-3-k}{2} \right) \left( \frac{3+k}{2} \right) \) = \( 0.5 \left( - \frac{(k+3)^2}{4} \right) \) = \( -\frac{(k+3)^2}{8} \).

Треугольник образован точками пересечения с осью Ox (их координаты \( (3, 0) \) и \( (-k, 0) \)) и вершиной параболы \( \left( \frac{3-k}{2}, -\frac{(k+3)^2}{8} \right) \).

Основание треугольника равно расстоянию между корнями: \( |3 - (-k)| = |3+k| \).

Высота треугольника равна модулю ординаты вершины: \( h = \left| -\frac{(k+3)^2}{8} \right| = \frac{(k+3)^2}{8} \).

Площадь треугольника равна \( S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} \).

По условию \( S = 1.5 \) кв. ед.

\( \frac{1}{2} \cdot |3+k| \cdot \frac{(k+3)^2}{8} = 1.5 \)

\( \frac{|3+k|(k+3)^2}{16} = 1.5 \)

\( |3+k|(k+3)^2 = 1.5 \cdot 16 = 24 \)

Рассмотрим два случая:

1. Если \( k+3 \ge 0 \) (т.е. \( k \ge -3 \)), то \( |3+k| = k+3 \).
   \( (k+3)(k+3)^2 = 24 \)
   \( (k+3)^3 = 24 \)
   \( k+3 = \sqrt[3]{24} = 2\sqrt[3]{3} \)
   \( k = 2\sqrt[3]{3} - 3 \).
   Проверим условие \( k ≥ -3 \): \( 2\sqrt[3]{3} - 3 ≥ -3 \) ⇒ \( 2\sqrt[3]{3} ≥ 0 \), что верно.
2. Если \( k+3 < 0 \) (т.е. \( k < -3 \)), то \( |3+k| = -(k+3) \).
   \( -(k+3)(k+3)^2 = 24 \)
   \( -(k+3)^3 = 24 \)
   \( (k+3)^3 = -24 \)
   \( k+3 = -\sqrt[3]{24} = -2\sqrt[3]{3} \)
   \( k = -2\sqrt[3]{3} - 3 \).
   Проверим условие \( k < -3 \): \( -2\sqrt[3]{3} - 3 < -3 \) ⇒ \( -2\sqrt[3]{3} < 0 \), что верно.

Ответ: \( k = 2\sqrt[3]{3} - 3 \) или \( k = -2\sqrt[3]{3} - 3 \).