3. Отрезок AF — биссектриса треугольника ABC, точка D лежит на стороне AB так, что AD = DF (рис. 35, в). Докажите, что прямые DF и AC параллельны.

Решение:

1. Так как AF — биссектриса треугольника ABC, то \( \angle FAB = \angle FAC \).
2. По условию AD = DF. Это означает, что треугольник ADF равнобедренный.
3. В равнобедренном треугольнике ADF углы при основании равны: \( \angle FAD = \angle FDC \).
4. Угол \( \angle FAB \) и \( \angle FAD \) — это один и тот же угол.
5. Следовательно, \( \angle FAC = \angle FAD \).
6. Из равенства \( \angle FAC = \angle FAD \) и \( \angle FAD = \angle FDC \) следует, что \( \angle FAC = \angle FDC \).
7. Рассмотрим прямые DF и AC и секущую AF. Углы \( \angle FAC \) и \( \angle FDC \) являются накрест лежащими углами при прямых DF и AC и секущей AF.
8. Так как накрест лежащие углы \( \angle FAC \) и \( \angle FDC \) равны, то прямые DF и AC параллельны.

Доказано.