3. Отрезки MN и PQ — диаметры окружности. Докажите, что хорды MP и QN равны.

Дано: Окружность, MN и PQ — диаметры.

Доказать: MP = QN.

Решение:

1. Рассмотрим треугольники ΔMOP и ΔQON (где O — центр окружности).
2. MO = OQ (радиусы окружности).
3. PO = ON (радиусы окружности).
4. ∠MOP = ∠QON (вертикальные углы).
5. Следовательно, ΔMOP = ΔQON по двум сторонам и углу между ними (по первому признаку равенства треугольников).
6. Из равенства треугольников следует, что MP = QN (как соответствующие стороны равных треугольников).

Что и требовалось доказать.