3. Отрезки CD и АВ пересекаются в точке О так, что АО = OB, AC || DB. Докажите, что треугольник АОС равен треугольнику DOB.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники △AOC и △DOB.

1. Дано:
• AO = OB (по условию)
• AC || DB (по условию)
2. Докажем равенство углов:
• Углы ∠CAO и ∠DBO являются накрест лежащими при параллельных прямых AC и DB и секущей AB. Следовательно, ∠CAO = ∠DBO.
• Углы ∠ACO и ∠BDO являются накрест лежащими при параллельных прямых AC и DB и секущей CD. Следовательно, ∠ACO = ∠BDO.
• Углы ∠AOC и ∠DOB являются вертикальными. Следовательно, ∠AOC = ∠DOB.
3. Применим признак равенства треугольников:
• У нас есть равенство двух сторон и двух прилежащих к ним углов. Например, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):
• AO = OB (по условию)
• ∠AOC = ∠DOB (вертикальные углы)
• ∠CAO = ∠DBO (накрест лежащие при AC || DB и секущей AB)
• Следовательно, △AOC = △DOB (по двум сторонам и углу между ними).
• Или по третьему признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам):
• AO = OB (по условию)
• ∠CAO = ∠DBO (накрест лежащие при AC || DB и секущей AB)
• ∠ACO = ∠BDO (накрест лежащие при AC || DB и секущей CD)
• Следовательно, △AOC = △DOB (по стороне и двум прилежащим углам).

Вывод: Треугольник АОС равен треугольнику DOB по первому (или третьему) признаку равенства треугольников.