3. Найти ранг матрицы А: A= $$ \begin{pmatrix} 2 & 0 & 4 & 0 \\ 3 & 0 & 6 & 0 \\ 1 & 0 & -3 & 0 \end{pmatrix} $$

Решение:

Для нахождения ранга матрицы определим, сколько линейно независимых строк (или столбцов) в ней содержится. Заметим, что второй столбец состоит только из нулей, поэтому он не добавляет ранга матрице. Рассмотрим матрицу без второго столбца:

$$ A' = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 0 \\ 3 & 6 & 0 \\ 1 & -3 & 0 \end{pmatrix} $$

Заметим, что вторая строка матрицы \(A'\) является произведением первой строки на \(\frac{3}{2}\) (так как \(3 = \frac{3}{2} \cdot 2\) и \(6 = \frac{3}{2} \cdot 4\)). Это означает, что вторая строка линейно зависима от первой.

Теперь рассмотрим первые две строки:

$$ \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} $$

Минор \(\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 6 \end{vmatrix} = 2 \cdot 6 - 4 \cdot 3 = 12 - 12 = 0\).

Рассмотрим строки \( \begin{pmatrix} 2 & 4
\ 1 & -3
\end{pmatrix} \).

Минор \(\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = 2 \cdot (-3) - 4 \cdot 1 = -6 - 4 = -10\). Так как этот минор не равен нулю, то ранг матрицы равен 2.

Другой способ: Заметим, что первый столбец равен \(\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\) и третий столбец равен \(\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix}\). Третий столбец равен \(2 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1.5 \end{pmatrix}\), а первый столбец равен \(\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\). Они не пропорциональны. Столбцы 1 и 3 не пропорциональны. Так как есть два линейно независимых столбца, то ранг матрицы равен 2.

Ответ: Ранг матрицы А равен 2.