3. Найти интервалы монотонности и точки экстремума функции y=x³-12x+6.

Решение:

Чтобы найти интервалы монотонности и точки экстремума функции \( y = x^3 - 12x + 6 \), нужно выполнить следующие шаги:

1. Находим первую производную функции:
   \( y' = (x^3 - 12x + 6)' = 3x^2 - 12 \)
2. Приравниваем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
   \( 3x^2 - 12 = 0 \)
   \( 3x^2 = 12 \)
   \( x^2 = 4 \)
   \( x = ± 2 \)
3. Определяем знаки производной на интервалах, образованных критическими точками:
   Критические точки: \( x = -2 \) и \( x = 2 \). Они делят числовую ось на три интервала: \( (-∞, -2) \), \( (-2, 2) \), \( (2, +∞) \).
   
   • Возьмём \( x = -3 \) (из интервала \( (-∞, -2) \)): \( y'(-3) = 3(-3)^2 - 12 = 3(9) - 12 = 27 - 12 = 15 > 0 \). Функция возрастает.
   • Возьмём \( x = 0 \) (из интервала \( (-2, 2) \)): \( y'(0) = 3(0)^2 - 12 = -12 < 0 \). Функция убывает.
   • Возьмём \( x = 3 \) (из интервала \( (2, +∞) \)): \( y'(3) = 3(3)^2 - 12 = 3(9) - 12 = 27 - 12 = 15 > 0 \). Функция возрастает.
4. Определяем интервалы монотонности:
   
   • Функция возрастает на интервалах: \( (-∞, -2] \) и \( [2, +∞) \).
   • Функция убывает на интервале: \( [-2, 2] \).
5. Находим точки экстремума:
   
   • В точке \( x = -2 \) производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка максимума. Найдем значение функции: \( y(-2) = (-2)^3 - 12(-2) + 6 = -8 + 24 + 6 = 22 \). Точка максимума: \( (-2, 22) \).
   • В точке \( x = 2 \) производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка минимума. Найдем значение функции: \( y(2) = (2)^3 - 12(2) + 6 = 8 - 24 + 6 = -10 \). Точка минимума: \( (2, -10) \).

Ответ:

• Интервалы возрастания: \( (-∞, -2] \) и \( [2, +∞) \).
• Интервал убывания: \( [-2, 2] \).
• Точка максимума: \( (-2, 22) \).
• Точка минимума: \( (2, -10) \).