№ 3. Найдите QS.

Решение:

• Задача №3: Треугольник PQR — прямоугольный (угол R = 90°). RS — высота, проведенная к гипотенузе.
• В треугольнике PRS угол S = 90°, угол P = 60°. Следовательно, угол PRS = 180° - 90° - 60° = 30°.
• В прямоугольном треугольнике PRS катет PS лежит напротив угла PRS (30°).
• По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы.
• PS = PR / 2.
• Нам дано, что PS = 18.
• Значит, PR = 2 * PS = 2 * 18 = 36.
• Теперь рассмотрим треугольник PQR. Угол P = 60°.
• В прямоугольном треугольнике PQR катет QR лежит напротив угла P (60°).
• Для нахождения QS, нам нужно найти PQ.
• PQ = PS + SQ.
• В прямоугольном треугольнике PRS:
• \[ \sin(60^{\circ}) = \frac{RS}{PR} \implies RS = PR \sin(60^{\circ}) = 36 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3} \]
• \[ \cos(60^{\circ}) = \frac{PS}{PR} \implies PS = PR \cos(60^{\circ}) = 36 \times \frac{1}{2} = 18 \] (что совпадает с условием)
• Теперь рассмотрим треугольник RQS. Угол RSQ = 90°.
• В треугольнике PQR, угол Q = 180° - 90° - 60° = 30°.
• В треугольнике RQS, угол RQS = 30°.
• \[ \tan(30^{\circ}) = \frac{RS}{QS} \]
• \[ QS = \frac{RS}{\tan(30^{\circ})} = \frac{18\sqrt{3}}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 18\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 18 \times 3 = 54 \]

Ответ: 54.