3. Найдите промежутки возрастания, убывания функции и ее экстремумы: y = x³ - 6x² + 9

Решение:

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, а также ее экстремумы, необходимо найти производную функции, приравнять ее к нулю и определить знаки производной на интервалах.

1. Найдем производную функции:
   \( y' = (x^3 - 6x^2 + 9)' = 3x^2 - 12x \)
2. Приравняем производную к нулю и найдем критические точки:
   \( 3x^2 - 12x = 0 \)
   \( 3x(x - 4) = 0 \)
   Следовательно, \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 4 \).
3. Определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками:
• На интервале \( (-\infty; 0) \), возьмем \( x = -1 \): \( y'(-1) = 3(-1)^2 - 12(-1) = 3 + 12 = 15 > 0 \). Функция возрастает.
• На интервале \( (0; 4) \), возьмем \( x = 1 \): \( y'(1) = 3(1)^2 - 12(1) = 3 - 12 = -9 < 0 \). Функция убывает.
• На интервале \( (4; +\infty) \), возьмем \( x = 5 \): \( y'(5) = 3(5)^2 - 12(5) = 75 - 60 = 15 > 0 \). Функция возрастает.
4. Найдем значения функции в критических точках (экстремумы):
• При \( x = 0 \) (точка максимума): \( y(0) = 0^3 - 6(0)^2 + 9 = 9 \). Точка максимума: \( (0; 9) \).
• При \( x = 4 \) (точка минимума): \( y(4) = 4^3 - 6(4)^2 + 9 = 64 - 6 16 + 9 = 64 - 96 + 9 = -23 \). Точка минимума: \( (4; -23) \).

Ответ:

• Промежутки возрастания: \( (-\infty; 0] \) и \( [4; +\infty) \)
• Промежутки убывания: \( [0; 4] \)
• Точка максимума: \( y_{max} = 9 \) при \( x = 0 \)
• Точка минимума: \( y_{min} = -23 \) при \( x = 4 \)