3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = 0, y = \(\sqrt{x}\), y = 2 - x.

Решение:

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = 0 \), \( y = \sqrt{x} \) и \( y = 2 - x \), нам нужно найти точки пересечения этих графиков.

1. Пересечение \( y = \sqrt{x} \) и \( y = 0 \):
   \( \sqrt{x} = 0 \implies x = 0 \). Точка пересечения: (0, 0).
2. Пересечение \( y = 2 - x \) и \( y = 0 \):
   \( 2 - x = 0 \implies x = 2 \). Точка пересечения: (2, 0).
3. Пересечение \( y = \sqrt{x} \) и \( y = 2 - x \):
   \( \sqrt{x} = 2 - x \). Возведём обе части в квадрат: \( x = (2 - x)^2 \)
   \( x = 4 - 4x + x^2 \)
   \( x^2 - 5x + 4 = 0 \)
   Решим квадратное уравнение: \( (x-1)(x-4) = 0 \)
   Получаем \( x = 1 \) или \( x = 4 \).
   Проверим эти решения в исходном уравнении \( \sqrt{x} = 2 - x \):
   Если \( x = 1 \), то \( \sqrt{1} = 1 \) и \( 2 - 1 = 1 \). Равенство верно. Точка пересечения: (1, 1).
   Если \( x = 4 \), то \( \sqrt{4} = 2 \) и \( 2 - 4 = -2 \). Равенство неверно.

График функции \( y = \sqrt{x} \) находится выше оси \( x \) для \( x \geq 0 \). График функции \( y = 2 - x \) — прямая, проходящая через точки (0, 2) и (2, 0).

Фигура ограничена тремя кривыми. Область интегрирования разбивается на две части:

• От \( x = 0 \) до \( x = 1 \), где верхняя граница — \( y = \sqrt{x} \), нижняя — \( y = 0 \).
• От \( x = 1 \) до \( x = 2 \), где верхняя граница — \( y = 2 - x \), нижняя — \( y = 0 \).

Площадь \( S \) вычисляется как сумма двух интегралов:

\[ S = \int_{0}^{1} \sqrt{x} dx + \int_{1}^{2} (2 - x) dx \]

Вычислим первый интеграл:

\[ \int_{0}^{1} \sqrt{x} dx = \int_{0}^{1} x^{1/2} dx = \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{1} = \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3} (1^{3/2}) - \frac{2}{3} (0^{3/2}) = \frac{2}{3} \]

Вычислим второй интеграл:

\[ \int_{1}^{2} (2 - x) dx = \left[ 2x - \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{2} = \left( 2(2) - \frac{2^2}{2} \right) - \left( 2(1) - \frac{1^2}{2} \right) = \left( 4 - 2 \right) - \left( 2 - \frac{1}{2} \right) = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2} \]

Общая площадь:

\[ S = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{4}{6} + \frac{3}{6} = \frac{7}{6} \]

Ответ: Площадь фигуры равна \( \frac{7}{6} \).