3. Найдите множества корней уравнения: а) x³ − x = 0; б) x³ − 3x² − x + 3 = 0; в) x² + 9 = 0; г) x² − 81 = 0.

а) Вынесем \(x\) за скобки и разложим разность квадратов:

\(x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)=0.\)

Отсюда \(x=0\), \(x=1\) или \(x=-1\). Множество корней: \(\{-1; 0; 1\}\).

б) Сгруппируем слагаемые:

\(x^3-3x^2-x+3=x^2(x-3)-(x-3)=(x^2-1)(x-3)=(x-1)(x+1)(x-3)=0.\)

Отсюда \(x=1\), \(x=-1\) или \(x=3\). Множество корней: \(\{-1; 1; 3\}\).

в) Для любого действительного \(x\) имеем \(x^2\geq 0\), поэтому \(x^2+9>0\). Действительных корней нет: множество корней — \(\varnothing\).

г) По разности квадратов:

\(x^2-81=(x-9)(x+9)=0.\)

Отсюда \(x=9\) или \(x=-9\). Множество корней: \(\{-9; 9\}\).