3. Найдите корень уравнения log_1/6 (4 - 2x) = -2.

Решение:

Данное уравнение является логарифмическим. Чтобы найти корень, преобразуем его, используя определение логарифма: \( \log_a b = c \iff a^c = b \).

В нашем случае основание логарифма \( a = \frac{1}{6} \), аргумент \( b = 4 - 2x \), а значение логарифма \( c = -2 \).

Применяя определение, получаем:

\[ \left( \frac{1}{6} \right)^{-2} = 4 - 2x \]

Теперь вычислим левую часть уравнения:

\[ \left( \frac{1}{6} \right)^{-2} = \left( 6^{-1} \right)^{-2} = 6^{(-1) \cdot (-2)} = 6^2 = 36 \]

Теперь наше уравнение выглядит так:

\[ 36 = 4 - 2x \]

Решим полученное линейное уравнение:

\[ 2x = 4 - 36 \]

\( 2x = -32 \)

\[ x = \frac{-32}{2} \]

\( x = -16 \)

Проверим, удовлетворяет ли найденное значение \( x \) условию существования логарифма. Аргумент логарифма должен быть положительным: \( 4 - 2x > 0 \).

Подставим \( x = -16 \):

\[ 4 - 2(-16) = 4 + 32 = 36 \]

Так как \( 36 > 0 \), то \( x = -16 \) является корнем уравнения.

Ответ: -16.