3. Начертите правильный ДАВС и постройте его образ при повороте вокруг середины АС на угол 60° по часовой стрелке. Чему будет равен угол между АВ и А1В1, если АВ—А1В1?

Решение:

При повороте на угол \( \alpha \) вокруг центра поворота, любая точка \( X \) отображается в точку \( X_1 \) так, что \(\vec{OX} = \vec{OX_1}\) и угол между \(\vec{OX}\) и \(\vec{OX_1}\) равен \( \alpha \). В данном случае, \( O \) — середина отрезка \( AC \), а \( \alpha = 60^{\circ} \) по часовой стрелке.

1. Построение образа:
• Пусть \( O \) — середина отрезка \( AC \).
• Чтобы найти образ точки \( B \) — точку \( B_1 \), нужно провести луч из \( O \) через \( B \) и отложить на нём отрезок \( OB_1 \) такой, что \( OB_1 = OB \) и угол \(\angle BOB_1 = 60^{\circ}\) по часовой стрелке.
• Аналогично, образ точки \( A \) — точка \( A_1 \) и образ точки \( C \) — точка \( C_1 \) будут находиться на расстоянии \( OA \) и \( OC \) соответственно от \( O \), при повороте на \( 60^{\circ} \) по часовой стрелке.
• Треугольник \( ABC \) — правильный, значит, все его углы равны \( 60^{\circ} \).
• При повороте вокруг середины \( AC \) на \( 60^{\circ} \) по часовой стрелке, точка \( A \) перейдет в точку \( A_1 \), а точка \( C \) — в точку \( C_1 \).
• Так как \( ABC \) — правильный треугольник, то \(\angle BAC = \angle BCA = 60^{\circ}\).
• Середина \( AC \) — центр поворота.
2. Угол между АВ и А1В1:
• Поворот является изометрическим преобразованием, то есть он сохраняет расстояния и углы.
• Вектор \(\vec{AB}\) поворачивается на \( 60^{\circ} \) по часовой стрелке, чтобы стать вектором \(\vec{A_1B_1}\).
• Следовательно, угол между вектором \(\vec{AB}\) и вектором \(\vec{A_1B_1}\) равен углу поворота.

Ответ: Угол между АВ и А1В1 будет равен 60°.