3. На рисунке прямые ОР и ВЕ параллельны, ОС и PD — перпендикуляры к прямой ВЕ. Укажите верные утверждения. 1) BC = DE 2) OC = PD 3) если ∠OBC = ∠DEP, то ΔОВС = ΔPED

Задание 3. Параллельные прямые и перпендикуляры

Дано:

• Прямые \( OP \) и \( BE \) параллельны.
• \( OC \) и \( PD \) — перпендикуляры к прямой \( BE \).

Утверждения:

1. \( BC = DE \)
2. \( OC = PD \)
3. Если \( \angle OBC = \angle DEP \), то \( \triangle OBC = \triangle PED \)

Анализ:

1) \( BC = DE \):

Из рисунка видно, что \( OC \) и \( PD \) являются высотами в трапеции \( OCPD \) (если \( OC \) и \( PD \) перпендикулярны к \( OP \) и \( BE \), то \( OC \) и \( PD \) параллельны, а \( OP \) и \( BE \) параллельны, что делает \( OCEP \) и \( OCBD \) прямоугольными трапециями). Если \( OP \) || \( BE \), то \( OCPD \) — прямоугольная трапеция. В прямоугольной трапеции основания — \( OP \) и \( BE \), а боковые стороны — \( OC \) и \( PD \), которые являются перпендикулярами. Вторая боковая сторона — \( CP \) или \( OD \) (в зависимости от того, как мы обозначим точки). Так как \( OC \) и \( PD \) перпендикулярны к \( BE \), то \( OC \) || \( PD \). Так как \( OP \) || \( BE \), то \( OCPD \) — прямоугольная трапеция. Тогда \( BC \) и \( DE \) являются отрезками основания \( BE \). Без дополнительных условий равенство \( BC = DE \) не следует.

2) \( OC = PD \):

Рассмотрим прямоугольные треугольники \( \triangle OBC \) и \( \triangle PED \). У нас есть \( \triangle OBC \) и \( \triangle PED \).

По условию \( OP \) || \( BE \) и \( OC \) \( \bot \) \( BE \), \( PD \) \( \bot \) \( BE \). Это значит, что \( OC \) и \( PD \) параллельны. Фигура \( OCPD \) является прямоугольной трапецией, где \( OP \) и \( CE \) — основания, а \( OC \) и \( PD \) — перпендикуляры. Если \( OP \) || \( BE \), то \( OC \) и \( PD \) параллельны и перпендикулярны к \( BE \). Следовательно, \( OCPD \) — прямоугольник, а значит \( OC = PD \).

3) Если \( \angle OBC = \angle DEP \), то \( \triangle OBC = \triangle PED \):

Рассмотрим \( \triangle OBC \) и \( \triangle PED \).

У нас есть:

• \( \triangle OBC \) — прямоугольный, так как \( OC \bot BE \). \( \boldsymbol{\angle OCB = 90^{\circ}} \).
• \( \triangle PED \) — прямоугольный, так как \( PD \bot BE \). \( \boldsymbol{\angle PDE = 90^{\circ}} \).
• По условию \( \boldsymbol{OP \parallel BE} \).
• Дано, что \( \boldsymbol{\angle OBC = \angle DEP} \).

В прямоугольном треугольнике \( \triangle OBC \), \( \boldsymbol{OC} \) — катет, \( \boldsymbol{BC} \) — катет, \( \boldsymbol{OB} \) — гипотенуза.

В прямоугольном треугольнике \( \triangle PED \), \( \boldsymbol{PD} \) — катет, \( \boldsymbol{ED} \) — катет, \( \boldsymbol{PE} \) — гипотенуза.

Мы знаем из пункта 2, что \( OC = PD \).

Мы имеем два прямоугольных треугольника \( \triangle OBC \) и \( \triangle PED \) с равными катетами \( OC = PD \) и равными острыми углами \( \boldsymbol{\angle OBC = \angle DEP} \). Следовательно, по признаку равенства прямоугольных треугольников (по катету и прилежащему острому углу) \( \boldsymbol{\triangle OBC = \triangle PED} \).

Верные утверждения:

• 2) \( OC = PD \)
• 3) Если \( \angle OBC = \angle DEP \), то \( \triangle OBC = \triangle PED \)

Ответ: 2, 3.