3. На рисунке изображено дерево случайного опыта S.

3. Решение:

• а) Являются ли события А и В независимыми? Объясните ответ.
• События А и В не являются независимыми. Независимость событий означает, что наступление одного события не влияет на вероятность наступления другого. В данном дереве вероятностей, вероятность наступления события В зависит от того, наступило ли событие А. Вероятность ветви, ведущей к В, зависит от того, из какого узла (А или не-А) она исходит.
• б) Найдите вероятность события С по данным рисунка.
• Событие С является конечным результатом опыта, который происходит после событий А и В. Чтобы найти вероятность события С, нужно проследить путь к нему по дереву и перемножить вероятности на ветвях.
• Путь к С: S → A → B → C.
• Вероятности на ветвях:
• P(A) = 1/3
• P(B|A) = 2/5 (вероятность В при условии, что А произошло)
• P(C|A и B) = 3/5 (вероятность С при условии, что А и В произошли)
• Вероятность события C равна:
• \[ P(C) = P(A) \times P(B|A) \times P(C|A \text{ и } B) \]
• \[ P(C) = \frac{1}{3} \times \frac{2}{5} \times \frac{3}{5} \]
• \[ P(C) = \frac{1 \times 2 \times 3}{3 \times 5 \times 5} \]
• \[ P(C) = \frac{6}{75} \]
• Сокращаем дробь:
• \[ P(C) = \frac{2}{25} \]

Ответ:

• а) События А и В не являются независимыми, так как вероятность В зависит от наступления А.
• б) Вероятность события C равна 2/25.