3. На рисунке BD ⊥ AC, BO = OD. Докажите, что AB = AD и BC = CD. Найдите ∠OBC, если ∠ODC = 65°.

Задание 3. Геометрическая задача

Дано:

• На рисунке: BD ⊥ AC, BO = OD.
• Угол: \( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle ODC}} = 65^{\circ} \).

Доказать:

• \( \boldsymbol{AB = AD} \)
• \( \boldsymbol{BC = CD} \)

Найти:

• Угол \( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle OBC}} \).

Решение:

Доказательство равенства сторон:

1. Рассмотрим треугольники \( \boldsymbol{\triangle ABO} \) и \( \boldsymbol{\triangle ADO} \).
2. У нас есть: \( \boldsymbol{BO = OD} \) (по условию).
3. \( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle AOB = \boldsymbol{\angle AOD}}} \) (как вертикальные углы, так как BD ⊥ AC, угол AOB и AOD являются прямыми, т.е. \( 90^{\circ} \) ).
4. \( \boldsymbol{AO} \) — общая сторона.
5. Следовательно, \( \boldsymbol{\triangle ABO = \boldsymbol{\triangle ADO}} \) по двум сторонам и углу между ними (СУС).
6. Из равенства треугольников следует, что \( \boldsymbol{AB = AD} \).
7. Теперь рассмотрим треугольники \( \boldsymbol{\triangle CBO} \) и \( \boldsymbol{\triangle CDO} \).
8. У нас есть: \( \boldsymbol{BO = OD} \) (по условию).
9. \( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle COB = \boldsymbol{\angle COD}}} \) (как вертикальные углы, так как BD ⊥ AC, угол COB и COD являются прямыми, т.е. \( 90^{\circ} \) ).
10. \( \boldsymbol{CO} \) — общая сторона.
11. Следовательно, \( \boldsymbol{\triangle CBO = \boldsymbol{\triangle CDO}} \) по двум сторонам и углу между ними (СУС).
12. Из равенства треугольников следует, что \( \boldsymbol{BC = CD} \).

Нахождение угла \( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle OBC}} \):

1. Мы доказали, что \( \boldsymbol{\triangle CBO = \boldsymbol{\triangle CDO}} \).
2. Это означает, что соответствующие углы равны: \( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle OBC = \boldsymbol{\angle ODC}}} \) и \( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle OCB = \boldsymbol{\angle OCD}}} \).
3. По условию, \( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle ODC}} = 65^{\circ} \).
4. Следовательно, \( \boldsymbol{\boldsymbol{\angle OBC = 65^{\circ}}} \).

Ответ: \(\boldsymbol{\boldsymbol{\boldsymbol{\angle OBC}}}\) \(\boldsymbol{=}\) 65^{\(\circ\)}.