3. На рис. 4 ∠1 = ∠2, ∠3 в 4 раза меньше ∠4. Найдите ∠3, ∠4.

Решение:

На рисунке 4 прямая a параллельна прямой b, и они пересечены секущей. Угол ∠1 и угол ∠3 являются накрест лежащими при параллельных прямых a и b и секущей. Угол ∠2 и угол ∠4 являются соответственными углами при параллельных прямых a и b и секущей. По условию ∠1 = ∠2. Из этого следует, что накрест лежащие углы ∠1 и ∠3 равны, и соответственные углы ∠2 и ∠4 равны. Следовательно, ∠3 = ∠4.

Также по условию ∠3 в 4 раза меньше ∠4, что означает \( \angle 3 = \frac{1}{4} \angle 4 \).

Так как \( \angle 3 = \angle 4 \) и \( \angle 3 = \frac{1}{4} \angle 4 \), это возможно только в том случае, если \( \angle 3 = \angle 4 = 0 \), что не соответствует рисунку.

Примечание: В условии задачи, вероятно, допущена ошибка. Если предположить, что ∠3 и ∠4 — это смежные углы (что не следует из рисунка) или что они относятся иначе, то задача решается. Исходя строго из рисунка и условия, возникает противоречие.

Переформулируем условие, предполагая, что ∠3 и ∠4 — части развернутого угла или связанные с ним. Если бы, например, ∠3 и ∠4 были смежными, то ∠3 + ∠4 = 180°. Тогда 4∠3 + ∠3 = 180°, 5∠3 = 180°, ∠3 = 36°, ∠4 = 144°. Но это не соответствует условию ∠1=∠2 и рисунку.

Если считать, что ∠3 и ∠4 — это углы, образуемые секущей с прямой b, и ∠3 и ∠4 — смежные, а ∠1 = ∠2, то ∠1 и ∠3 - накрест лежащие, ∠2 и ∠4 - соответственные. Если ∠1=∠2, то прямые a и b параллельны. Тогда ∠1=∠3 и ∠2=∠4. Но по условию ∠3 в 4 раза меньше ∠4, что противоречит ∠3=∠4.

Предположим, что ∠3 и ∠4 — это углы, которые составляют часть от развернутого угла, и они связаны соотношением 1:4. Если они являются смежными, то ∠3 + ∠4 = 180°. Тогда ∠3 = 36°, ∠4 = 144°. Но это не учитывает ∠1 = ∠2.

Учитывая, что ∠1 = ∠2, и ∠1 и ∠3 — накрест лежащие, ∠2 и ∠4 — соответственные, то ∠1 = ∠3 и ∠2 = ∠4, следовательно ∠3 = ∠4. Условие ∠3 в 4 раза меньше ∠4 противоречит ∠3 = ∠4.

Наиболее вероятное условие, которое могло быть: ∠3 и ∠4 - это два угла, которые составляют прямой угол (90°), и их отношение 1:4. Тогда ∠3 = 18°, ∠4 = 72°.

Учитывая рисунок и условие ∠1=∠2 (что означает параллельность прямых), а также ∠3 в 4 раза меньше ∠4, наиболее логичным является предположение, что ∠3 и ∠4 — это углы, составляющие прямой угол, то есть ∠3 + ∠4 = 90°.

\[ \angle 3 + \angle 4 = 90° \]

\[ \angle 3 = \frac{1}{4} \angle 4 \]

\[ \frac{1}{4} \angle 4 + \angle 4 = 90° \]

\[ \frac{5}{4} \angle 4 = 90° \]

\[ \angle 4 = 90° \times \frac{4}{5} = 72° \]

\[ \angle 3 = \frac{1}{4} \times 72° = 18° \]

Ответ: ∠3 = 18°, ∠4 = 72°.