3. На рис. 158 ВС = 9 см. Найдите АВ.

Решение:

На рисунке изображён прямоугольный треугольник ABC, где угол C равен 90 градусов. Нам дано, что длина стороны BC равна 9 см. Также указано, что угол B равен 4\(\alpha\), а угол A равен 5\(\alpha\).

Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам. В прямоугольном треугольнике один угол прямой (90 градусов), значит, сумма двух других острых углов равна 90 градусов.

\( \angle A + \angle B = 90^\circ \)

Подставим известные значения углов:

\[ 5\alpha + 4\alpha = 90^\circ \]

\[ 9\alpha = 90^\circ \]

\[ \alpha = \frac{90^\circ}{9} = 10^\circ \]

Теперь найдём величину углов A и B:

\[ \angle A = 5\alpha = 5 \cdot 10^\circ = 50^\circ \]

\[ \angle B = 4\alpha = 4 \cdot 10^\circ = 40^\circ \]

Мы ищем длину стороны AB. В прямоугольном треугольнике AB является гипотенузой.

Мы знаем катет BC и прилежащий к нему угол B. Мы можем использовать тангенс угла B для нахождения катета AC, но нам нужна гипотенуза AB.

Используем косинус угла B:

\[ \cos(\angle B) = \frac{BC}{AB} \]

\[ \cos(40^\circ) = \frac{9 \text{ см}}{AB} \]

Выразим AB:

\[ AB = \frac{9 \text{ см}}{\cos(40^\circ)} \]

Приблизительное значение \( \cos(40^\circ) \approx 0.766 \).

\[ AB \approx \frac{9}{0.766} \text{ см} \approx 11.75 \text{ см} \]

Также можно использовать синус угла A:

\[ \sin(\angle A) = \frac{BC}{AB} \]

\[ \sin(50^\circ) = \frac{9 \text{ см}}{AB} \]

Выразим AB:

\[ AB = \frac{9 \text{ см}}{\sin(50^\circ)} \]

Приблизительное значение \( \sin(50^\circ) \approx 0.766 \).

\[ AB \approx \frac{9}{0.766} \text{ см} \approx 11.75 \text{ см} \]

Ответ: AB = \( \frac{9}{\cos(40^\circ)} \) см ≈ 11.75 см.