3. На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что ∠AOB = 84°. Длина меньшей дуги АВ равна 70. Найдите длину большей дуги.

Решение:

Длина дуги окружности вычисляется по формуле \( L = \frac{\pi R \alpha}{180^{\circ}} \), где \( R \) — радиус окружности, \( \alpha \) — центральный угол, выраженный в градусах.

1. Найдём радиус окружности.

Длина меньшей дуги АВ равна 70. Центральный угол, соответствующий этой дуге, равен 84°.

\( 70 = \frac{\pi R \cdot 84^{\circ}}{180^{\circ}} \)

\( R = \frac{70 \cdot 180^{\circ}}{\pi \cdot 84^{\circ}} = \frac{70 \cdot 180}{84 \pi} = \frac{70 \cdot 5}{7 \pi} = \frac{10 \cdot 5}{\pi} = \frac{50}{\pi} \)

2. Найдём длину большей дуги.

Длина всей окружности равна \( C = 2 \pi R = 2 \pi \cdot \frac{50}{\pi} = 100 \).

Длина большей дуги равна длине всей окружности минус длина меньшей дуги:

\( L_{большая} = C - L_{меньшая} = 100 - 70 = 30 \)

Ответ: 30.