3. (Московская устная олимпиада, 2023, 6.3, 7.3) В турнире участвовали десять шахматистов. Каждый сыграл с каждым два раза: один раз белыми и один раз чёрными, причём какую-то из этих партий он выиграл, а другую проиграл (ничьих не было). Могло ли оказаться так, что половину всех партий выиграли белые, а половину — чёрные?

Решение:

В турнире участвовали 10 шахматистов. Каждый сыграл с каждым дважды: один раз белыми, один раз чёрными. Всего партий: \( 10 \times 9 = 90 \) партий (так как каждый играет с 9 другими, а умножение на 2 уже учтено в условии «два раза»).

В каждой партии был победитель и проигравший (ничьих не было). Общее число партий, сыгранных белыми, равно 90. Общее число партий, сыгранных чёрными, также равно 90. Всего сыграно \( 90 + 90 = 180 \) партий.

Если бы белые выиграли ровно половину всех партий, это означало бы, что белые выиграли \( 180 / 2 = 90 \) партий. Это соответствует общему числу партий, сыгранных белыми. То есть, в каждой партии, которую белые играли, они должны были выиграть.

Аналогично, если бы чёрные выиграли ровно половину всех партий, это означало бы, что чёрные выиграли \( 180 / 2 = 90 \) партий. Это соответствует общему числу партий, сыгранных чёрными. То есть, в каждой партии, которую чёрные играли, они должны были выиграть.

Эти два условия не противоречат друг другу. Это означает, что каждая партия должна была закончиться либо победой белых, либо победой чёрных. Если каждое из условий выполняется, то белые должны были выиграть все свои партии (90 партий), и чёрные должны были выиграть все свои партии (90 партий). Это возможно.

Ответ: Да, могло.