3 ∠mn₁ + ∠m₁n₁ + ∠m₁n = 240° ∠mn - ?

Задание 3

Нам дано, что сумма трёх углов равна 240°. Нам нужно найти величину угла ∠mn.

Решение

Давайте разберемся с углами, которые представлены на рисунке. У нас есть две пересекающиеся прямые, которые образуют четыре угла. Эти углы можно обозначить как ∠mn, ∠n m₁, ∠m₁n₁, ∠n₁m.

Из рисунка видно, что:

• Угол ∠mn и угол ∠m₁n₁ являются вертикальными, значит, они равны: ∠mn = ∠m₁n₁.
• Угол ∠n m₁ и угол ∠n₁m являются вертикальными, значит, они равны: ∠n m₁ = ∠n₁m.
• Сумма углов, образующих развёрнутую прямую, равна 180°. Например, ∠mn + ∠n m₁ = 180°.

В условии задачи дано:

\[ \angle mn_1 + \angle m_1n_1 + \angle m_1n = 240^\circ \]

Мы знаем, что ∠mn₁ и ∠m₁n - это вертикальные углы, значит, ∠mn₁ = ∠m₁n.

Также, ∠m₁n₁ и ∠mn - это вертикальные углы, значит, ∠m₁n₁ = ∠mn.

Подставим это в данное уравнение:

\[ \angle mn_1 + \angle mn + \angle mn = 240^\circ \]

Давайте обозначим ∠mn как $$x$$. Тогда ∠mn₁ и ∠m₁n будут равны $$y$$.

У нас получается:

\[ y + x + y = 240^\circ \]

2y + x = 240°

Мы знаем, что сумма всех четырёх углов, образованных двумя пересекающимися прямыми, равна 360°. Или, что сумма смежных углов равна 180°.

Например, $$x + y = 180°$$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. $$2y + x = 240°$$
2. $$y + x = 180°$$

Выразим $$x$$ из второго уравнения: $$x = 180° - y$$.

Подставим это в первое уравнение:

\[ 2y + (180° - y) = 240° \]

Раскроем скобки:

\[ 2y + 180° - y = 240° \]

Приведём подобные члены:

\[ y + 180° = 240° \]

Найдем $$y$$:

\[ y = 240° - 180° \]

$$y = 60°$$

Теперь, когда мы нашли $$y$$, мы можем найти $$x$$, используя второе уравнение:

\[ x = 180° - y \]

Подставим значение $$y$$:

\[ x = 180° - 60° \]

$$x = 120°$$

Таким образом, угол ∠mn равен 120°.

Ответ: 120°.