3. Какими могут быть длина, ширина и высота параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ (в сантиметрах), если они выражены натуральными числами, площадь грани ABCD = 12 см², а площадь грани AA₁D₁D = 24 см²?

Решение:

Обозначим длину параллелепипеда как AD, ширину как AB, и высоту как AA₁.

По условию, площадь грани ABCD = 12 см². Поскольку ABCD — это прямоугольник, его площадь равна произведению длины на ширину:

AD × AB = 12

Площадь грани AA₁D₁D = 24 см². Поскольку AA₁D₁D — это тоже прямоугольник, его площадь равна произведению длины основания на высоту:

AD × AA₁ = 24

Нам нужно найти натуральные числа (целые положительные) для AD, AB и AA₁, которые удовлетворяют этим условиям.

Сначала найдем пары натуральных чисел, произведение которых равно 12 (для AD и AB):

• 1 × 12
• 2 × 6
• 3 × 4
• 4 × 3
• 6 × 2
• 12 × 1

Теперь для каждой из этих пар найдем AD. Затем, используя второе уравнение (AD × AA₁ = 24), найдем AA₁ и проверим, является ли оно натуральным числом.

Варианты:

1. Если AD = 1, то AB = 12. Тогда 1 × AA₁ = 24, значит AA₁ = 24. (Натуральное число)
2. Если AD = 2, то AB = 6. Тогда 2 × AA₁ = 24, значит AA₁ = 12. (Натуральное число)
3. Если AD = 3, то AB = 4. Тогда 3 × AA₁ = 24, значит AA₁ = 8. (Натуральное число)
4. Если AD = 4, то AB = 3. Тогда 4 × AA₁ = 24, значит AA₁ = 6. (Натуральное число)
5. Если AD = 6, то AB = 2. Тогда 6 × AA₁ = 24, значит AA₁ = 4. (Натуральное число)
6. Если AD = 12, то AB = 1. Тогда 12 × AA₁ = 24, значит AA₁ = 2. (Натуральное число)

Заполним таблицу всеми возможными вариантами: