3. Как определяется умножение вектора на число и какие свойства при этом выполняются?

Решение:

Умножение вектора на число — это операция, в результате которой получается новый вектор, коллинеарный исходному. Если дан вектор \(\vec{a} = (a_x, a_y)\) и число \(k\), то вектор, полученный в результате умножения, имеет координаты \(k\vec{a} = (k · a_x, k · a_y)\). Длина результирующего вектора равна произведению модуля числа \(|k|\) на длину исходного вектора \(|\vec{a}|\).

Свойства умножения вектора на число:

• Распределительное свойство относительно суммы векторов: \(k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}\)
• Распределительное свойство относительно суммы чисел: \((k + m)\vec{a} = k\vec{a} + m\vec{a}\)
• Ассоциативное свойство: \((km)\vec{a} = k(m\vec{a})\)
• Умножение на единицу: \(1 \cdot \vec{a} = \vec{a}\)
• Умножение на ноль: \(0 \cdot \vec{a} = \vec{0}\) (нулевой вектор)
• Умножение на -1: \((-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a}\) (вектор, противоположный \(\vec{a}\))

Ответ: Умножение вектора на число — это операция, приводящая к вектору, коллинеарному исходному, длина которого изменяется в \(|k|\) раз. Свойства: распределительные, ассоциативное, умножение на 1 и 0.