3. Как определяется умножение вектора на число и какие свойства при этом выполняются?

Определение умножения вектора на число

Умножение вектора \( \vec{a} \) на число \( k \) — это операция, в результате которой получается новый вектор \( k \vec{a} \), коллинеарный вектору \( \vec{a} \).

• Если \( k > 0 \), то вектор \( k \vec{a} \) имеет то же направление, что и \( \vec{a} \), а его длина равна \( |k| \cdot |\vec{a}| \).
• Если \( k < 0 \), то вектор \( k \vec{a} \) имеет противоположное направление вектору \( \vec{a} \), а его длина равна \( |k| \cdot |\vec{a}| \).
• Если \( k = 0 \), то \( 0 \cdot \vec{a} = \vec{0} \) (нулевой вектор).
• Если \( \vec{a} = \vec{0} \), то \( k \cdot \vec{0} = \vec{0} \) для любого числа \( k \).

Свойства умножения вектора на число

Для любых векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) и любых чисел \( k \) и \( m \) выполняются следующие свойства:

• Ассоциативность: \( (km)\vec{a} = k(m\vec{a}) \)
• Распределительность относительно суммы векторов: \( k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b} \)
• Распределительность относительно суммы чисел: \( (k+m)\vec{a} = k\vec{a} + m\vec{a} \)
• Свойство единицы: \( 1 \cdot \vec{a} = \vec{a} \)