3) Известно, что OQ = 2NQ = 6, ∠NQO = 60°. 1) найдите ∠OMQ; 2) найдите ∠NOQ; 3) найдите ∠HMQ; 4) найдите HQ.

Так как O и Q — центры окружностей, общий хорда NM перпендикулярна OQ, а H — её середина.

1. Из условия: OQ = 6, NQ = 3.

   В треугольнике ONQ:

   ON² = OQ² + NQ² − 2·OQ·NQ·cos 60° = 36 + 9 − 18 = 27, поэтому ON = 3√3.

   По теореме косинусов для угла NOQ:

   cos ∠NOQ = (OQ² + ON² − NQ²) / (2·OQ·ON) = (36 + 27 − 9) / (36√3) = √3/2.

   Следовательно, ∠NOQ = 30°.

2. Тогда в треугольнике ONQ:

   ∠ONQ = 180° − 60° − 30° = 90°.

   Точки N и M симметричны относительно OQ, поэтому угол между OM и MQ также прямой:

   ∠OMQ = 90°.

3. В прямоугольном треугольнике OHN:

   OH = ON·cos 30° = 3√3 · √3/2 = 9/2.

   Так как OQ = 6, получаем:

   HQ = OQ − OH = 6 − 9/2 = 3/2.

4. В прямоугольном треугольнике QHM:

   QM = NQ = 3, QH = 3/2.

   Следовательно, sin ∠HMQ = QH/QM = (3/2)/3 = 1/2, поэтому ∠HMQ = 30°.

Ответ: 1) ∠OMQ = 90°; 2) ∠NOQ = 30°; 3) ∠HMQ = 30°; 4) HQ = 3/2.