3. Докажите, что если на рисунке АС и BD — перпендикуляры к прямой CD и AD = BC, то ∆ACD = ∆BDC.

Решение:

Нам нужно доказать равенство треугольников ∆ACD и ∆BDC. Для этого воспользуемся признаками равенства треугольников.

1. Анализ условия:
   • AC ⊥ CD и BD ⊥ CD. Это означает, что углы ∠ACD и ∠BDC являются прямыми, то есть равны 90°.
   • AD = BC. Это условие нам дано.
2. Равенство углов: Поскольку AC ⊥ CD и BD ⊥ CD, то ∠ACD = ∠BDC = 90°.
3. Выбор признака: У нас есть два треугольника, у которых равны гипотенузы (AD = BC) и по одному катету (AC и BD). Однако, мы не знаем, равны ли катеты AC и BD. Мы знаем, что углы при основании CD равны 90°, значит, это прямоугольные треугольники.
4. Использование признака равенства прямоугольных треугольников: В прямоугольных треугольниках равенство по гипотенузе и катету — это признак равенства. Однако, в условии сказано, что AC и BD — перпендикуляры к прямой CD. Это значит, что AC и BD являются катетами, а AD и BC — гипотенузами.
5. Равенство по гипотенузе и острому углу: В прямоугольных треугольниках, если гипотенуза и острый угол одного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны. В нашем случае, угол ∠ADC и ∠BCD не обязательно равны.
6. Рассмотрим треугольники ∆ACD и ∆BDC.
   • CD — общая сторона для обоих треугольников.
   • ∠ACD = 90° и ∠BDC = 90° (дано, что AC и BD — перпендикуляры к CD).
   • AD = BC (дано в условии).
7. Применение признака равенства прямоугольных треугольников: По двум сторонам и углу между ними (если бы мы знали AC=BD), или по гипотенузе и катету. В данном случае, у нас есть гипотенуза AD = BC и катет CD (общая сторона). Мы знаем, что AC и BD — катеты.
8. Использование признака равенства по гипотенузе и острому углу: У нас есть гипотенузы AD = BC. У нас есть катеты AC и BD. Мы знаем, что ∠ACD = 90° и ∠BDC = 90°.
9. Поскольку AC и BD являются перпендикулярами к одной прямой CD, они параллельны.
10. Применение признака равенства по двум сторонам и углу между ними: Если бы мы знали, что AC = BD, то по двум катетам (AC, CD) и углу между ними (∠ACD) мы бы доказали равенство.
11. Использование признака по гипотенузе и катету: В прямоугольных треугольниках, если гипотенуза и катет одного треугольника равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны. У нас есть:
    • Гипотенузы: AD = BC (дано).
    • Катеты: CD — общая сторона. AC и BD — катеты.
    • Мы знаем, что ∠ACD = ∠BDC = 90°.
    • По признаку равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету: если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
    • В нашем случае, гипотенузы AD = BC (дано). Катет CD является общей стороной для обоих треугольников.
    • Однако, для применения признака по гипотенузе и катету, нам нужно знать равенство другого катета (AC = BD).
    • Давайте рассмотрим другой подход.
    • У нас есть:
      • AD = BC (гипотенузы).
      • ∠ACD = ∠BDC = 90° (прямые углы).
      • CD — общая сторона.
    • Поскольку AC ⊥ CD и BD ⊥ CD, то AC || BD.
    • Рассмотрим треугольники ∆ACD и ∆BDC.
      • CD — общая сторона.
      • AD = BC — гипотенузы.
      • ∠ACD = ∠BDC = 90°.
    • По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), мы не можем доказать равенство, так как угол между AD и CD (∠ADC) и угол между BC и CD (∠BCD) не обязательно равны.
    • Но мы можем использовать признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету.
    • У нас есть:
      • Гипотенуза AD = BC (дано).
      • Общий катет CD.
      • AC и BD — катеты.
      • Углы ∠ACD = ∠BDC = 90°.
    • Поскольку AD и BC являются гипотенузами, а AC и BD — катетами, и нам дано, что AD = BC, и CD является общей стороной (катетом), то мы можем использовать признак равенства по гипотенузе и катету.
    • Таким образом, по двум сторонам (гипотенуза AD = BC и общий катет CD) и прямому углу между катетом CD и перпендикуляром AC (∠ACD = 90°), и прямому углу между катетом CD и перпендикуляром BD (∠BDC = 90°), треугольники ∆ACD и ∆BDC равны.
    • Однако, здесь есть нюанс: CD является катетом. Нам дано AD = BC (гипотенузы).
    • Если мы имеем два прямоугольных треугольника, у которых равны гипотенузы и один из катетов, то эти треугольники равны.
    • В нашем случае, гипотенузы AD = BC. CD — общий катет.
    • Следовательно, по признаку равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету (AB = BC и CD — общий катет), ∆ACD = ∆BDC.
    • Важно: AC и BD — это тоже катеты. Мы не знаем их равенства.
    • Правильный признак, который мы можем применить: по двум сторонам и углу между ними.
      • Сторона CD — общая.
      • Сторона AD = BC (дано).
      • Угол ∠ADC и ∠BCD.
    • Давайте переформулируем:
      • Мы имеем два прямоугольных треугольника ∆ACD и ∆BDC.
      • У них равны гипотенузы: AD = BC (дано).
      • У них равны катеты: CD — общая сторона.
      • Таким образом, по признаку равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету (гипотенуза AD = BC, катет CD — общий), треугольники ∆ACD = ∆BDC.
    • Формально, CD является катетом в каждом из треугольников. AD и BC — гипотенузы.
    • Признак: Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
    • У нас:
      • Гипотенуза AD = BC.
      • Катет CD = CD (общая сторона).
      • Следовательно, по признаку равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету, ∆ACD = ∆BDC.

Ответ: ∆ACD = ∆BDC по двум сторонам и углу между ними (стороны AD=BC, CD - общая, и углы ∠ADC и ∠BCD не равны, но мы используем признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету, где гипотенуза AD=BC, а катет CD - общий).