3. Доказать: AD = BC.

Краткое пояснение:

Решение:

• Рассмотрим два окружности с центром O. Пусть большая окружность имеет радиус R, а меньшая — r.
• Точки A, B, C, D расположены на окружностях.
• Из рисунка видно, что AC и BD — хорды, проходящие через центр O. Следовательно, AC и BD являются диаметрами.
• Диаметры, проходящие через центр, делят окружность на две равные части.
• Рассмотрим треугольник AOD. OA = OD = R (радиусы большей окружности). Треугольник AOD — равнобедренный.
• Рассмотрим треугольник BOC. OB = OC = R (радиусы большей окружности). Треугольник BOC — равнобедренный.
• Угол AOD и угол BOC являются вертикальными углами, так как AC и BD пересекаются в точке O.
• Следовательно, Угол AOD = Угол BOC.
• Так как треугольники AOD и BOC равнобедренные и имеют равные углы при вершине, то они равны по первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними):
• OA = OB (радиусы)
• OD = OC (радиусы)
• Угол AOD = Угол BOC (вертикальные)
• Из равенства треугольников AOD и BOC следует, что AD = BC.
• Также можно рассмотреть треугольники ABD и BCA.
• AB — общая сторона.
• Угол ADB = 90° (опирается на диаметр AB большей окружности).
• Угол BCA = 90° (опирается на диаметр AB большей окружности).
• Это неверно, если AC и BD — диаметры. Если AC и BD — диаметры, то A, O, C лежат на одной прямой, и B, O, D лежат на одной прямой.
• Если AC и BD — диаметры, то AD и BC — хорды.
• Рассмотрим треугольники AOD и BOC.
• OA = OB = OC = OD = R (радиусы большей окружности).
• Угол AOD = Угол BOC (вертикальные углы).
• По двум сторонам и углу между ними (СУР), треугольник AOD равен треугольнику BOC.
• Следовательно, AD = BC.

Доказано.